Die wirthschaftlich vortheilhaftesten Dimensionen der Riementriebe; von Prof. Dr. Th. Weiſs in Brünn. (Schluſs der Abhandlung S. 1 dieses Bandes.) Th. Weiſs, über die vortheilhaftesten Dimensionen der Riementriebe. b) Die vortheilhafteste Dicke der Treibriemen. Die Formel (20) enthält die beiden willkürlich Veränderlichen r und δ und liefert daher einen Minimalwerth bei gleichzeitiger Befriedigung des Nullwerthes der Differentialquotienten \frac{d\,\frakfamily{K}_0}{d\,r} und \frac{d\,\frakfamily{K}_0}{d\,\delta}. Zur Vermeidung von in der That weitgehenden, verwickelten Berechnungen, sowie aus dem hinter Formel (20) angegebenen Grunde wurde dieses correctere Ermittlungsverfahren nicht befolgt, ferner auch deshalb nicht, weil die Riemen meistens nicht in willkürlichen Dicken, sondern nahezu nur in der Dicke δ = 0cm,5 zur Verfügung stehen. Es ist jedoch noch die Frage zu beantworten, ob doppelte oder dreifache Riemen den einfachen vorgezogen zu werden verdienen, und von diesem Gesichtspunkte aus werden nachfolgende Untersuchungen angestellt. Zunächst ergibt sich mittels völlig analoger Berechnungsweise als Erweiterung von Tabelle II mit \eta_1=\frac{\eta}{\delta}=\varphi\,(1-\varepsilon)\,E die nachstehende: Tabelle VI. Für n = 300, k = 0,07. r = 50 100 200 σ  = 40η1 = 200 δ = 0,5δ = 1δ = 2 120 + 50ρ'140 + 56ρ'145 + 60ρ'   100 + 25ρ'  100 + 32ρ'  100 + 37ρ' 120 + 20ρ'150 + 40ρ'240 + 74ρ' σ  = 16η1 = 400 sδ = 0,5δ = 1δ = 2 360 + 37ρ'560 + 48ρ'imaginar   235 + 20ρ'  351 + 38ρ'1200 + 118ρ' 520 +38ρ'imaginarimaginar Hieraus geht sofort unzweifelhaft hervor, daſs gemäſs Formel (20) alle Riemendicken > 0cm,5, also insbesondere auch alle mehrfachen Riemen, die jährlichen Ausgaben sowohl hinsichtlich der Verzinsung des Anschaffungskapitals, als rücksichtlich der Betriebskosten entschieden vergröſsern. Demgemäſs könnte daher der Ausspruch gethan werden, es sei unbedingt zweckmäſsig, nur recht dünne Riemen anzuwenden. Das Nullsetzen von δ in Formel (20) bezieh. in (14) bis (19) sowie (5) und (6) ergibt jedoch einen negativen Werth für \frakfamily{K}_0, und mit δ = δ0, d.h. einem gewissen Betrage für δ etwas > 0 wird \frakfamily{K}_0 = 0. Die Kritik dieses mit der unmittelbaren Beurtheilung der Sache in Widerspruch stehenden Resultates führt aber zu der Erkenntniſs, daſs Formel (20) nur innerhalb gewisser Grenzen und nicht für extreme Fälle anwendbar ist. Eine weitergehende Ueberlegung und Nachforschung findet den Grund hierfür in der Unzulänglichkeit der Berechnungsweise der Mitwirkung des Luftdruckes, wie sie G. Schmidt und Pinzger in ihren Grundformeln, welche auch hier wegen ihrer Einfachheit zur Anwendung gebracht wurden, eingeführt haben. Schon in meinem ersten diesfallsigen Artikel (1880 236 177) machte ich auf das Hypothetische dieser Berechnungsweise und auf das Unzutreffende ihrer äuſsersten Folgerungen aufmerksam. In der That kann der nach Formel (14) und (15) sich ergebende Ausdruck: \frac{\frakfamily{S}_3}{\frakfamily{S}_2}=\frac{3\left(\sigma-\frac{\eta}{r}\right)-\left(\frac{k}{\delta}-\frac{n^2}{10^8}\,r\right)\,r}{\sigma-\frac{\eta}{r}+\left(\frac{k}{\delta}-\frac{n^2}{10^8}\,r\right)\,r}, welcher gemäſs meinem zweiten diesbezüglichen Artikel (1880 236 267) nichts anderes ist als der Quotient \frac{T+t}{P}, nicht für alle Werthe von δ zutreffende Ergebnisse liefern, da derselbe für gewisse Werthe von δ  negativ ausfallt, was so viel heiſsen würde, daſs die Summe der Riemenspannungen (T+t) bei jedem beliebigen Werthe von P mit jenem gewissen Werthe von δ negativ werden könnte, während doch ein kleinerer Werth als (T+t)=P aus sachlichen Gründen überhaupt nicht denkbar ist. Daher habe ich für die vorliegenden Zwecke auch die betreffs des Luftdruckes von mir vorgeschlagene Berechnungsweise angewendet, also die Formeln (25) bis (31) meines ersten Artikels (Bd. 236 S. 183) benutzt, aus welchen mit den Abkürzungen: \varkappa=1+k_0\,v^q\,b\,r . . . . . . . . (25) m_1=\frac{e^{\varkappa \mu \alpha}}{e^{\mu \varkappa \alpha}-1} . . . . (26)   und   {m_1}'=\frac{e^{\mu \varkappa \alpha}+1}{e^{\mu \varkappa \alpha}-1} . . . . (27) sich ergibt: \frac{T+t}{P}=\frac{{m_1}'\left(\sigma-\frac{ \eta}{r}\right)+(2\,m_1-{m_1}')\frac{0,01}{\varkappa}v^2}{\sigma-\frac{\eta}{r}-\frac{0,01}{\varkappa}\,v^2} . . . . . . . . . (28) Da aber ϰ bei einem nicht zu kleinen Werthe für die specifische Intensität k0 des Luftüberdruckes wegen der immerhin beträchtlichen Gröſse von br eine Zahl sein wird, welche bedeutend gröſser als 1 ist, so kann sogar bis zu sehr erheblichen Geschwindigkeiten v anstatt Formel (28) ein für alle Mal gesetzt werden: \frac{T+t}{P}=\frac{1\left(\sigma-\frac{\eta}{r}\right)+(2-1)\frac{0,01}{\varkappa}\,v^2}{\sigma-\frac{\eta}{r}-\frac{0,01}{\varkappa}\,v^2}=\frac{\sigma-\frac{\eta}{r}}{\sigma-\frac{\eta}{r}}=1, . . . . (28a) was in Worten ausgesprochen besagen will, daſs diesfalls die Spannungensumme T+t gleich der Umfangskraft P ist. In der That resultirt auch aus den bezeichneten Formeln: T=\frac{e^{\mu \varkappa \alpha}}{e^{\mu \varkappa \alpha}-1}\ \frac{\sigma-\frac{\eta}{r}}{\sigma-\frac{\eta}{r}-\frac{0,01}{\varkappa}\,v^2}\,P und t=\frac{\left(\sigma-\frac{\eta}{r}\right):\left(e^{\mu \varkappa \alpha}-1\right)-\frac{0,01}{\varkappa}\,v^2}{\sigma-\frac{\eta}{r}-\frac{0,01}{\varkappa}\,v^2}\,P, was im völligen Einklänge mit einer sachlichen Beurtheilung der einschlagenden Verhältnisse für sehr groſse Werthe von x offenbar T = P und t = 0, sowie eine Anspannung des Stillstandes von t1 = ½ (T + t) = ½ P liefert. Ferner ergibt sich aber auch aus den bezeichneten Fundamentalformeln in Verbindung mit Formel (10) dieses Artikels das Verhältniſs: \frac{G}{T+t}=\frac{0,2}{\sigma-\frac{\eta}{r}}\ \frac{r}{\delta}, . . . . (29) sofern ebenfalls ϰ sehr groſs angenommen wird. Während daher an Stelle von Formel (7) zu schreiben sein würde: b\,\delta=\frac{7500}{\sigma-\frac{\eta}{r}}\ \frac{1}{r}\ \frac{N}{n}, . . . . (30) so berechnet sich in ganz analoger Weise wie die Formeln (9) bis (20) mit den Abkürzungen: p=1500\,\frac{\frakfamily{pk}}{f\frakfamily{k}_2}\,a . . . . (31)      {p_1}'=750\frac{\frakfamily{pk}}{f\frakfamily{k}_2}\,\pi\,(1+\xi) . . . . . . . (32) {p_1}''=750\,\frac{\frakfamily{p}_1\frakfamily{k}_1}{f\frakfamily{k}_2}\,0,2(1+\xi) . . . . (33)      \eta_1=\frac{\eta}{\delta}=\varphi\,(1-\varepsilon)\,E . . . . (34) \frac{\delta}{r}\,\varrho=\frac{d}{2}\sqrt{\left(\frac{\delta}{r}\right)^2-\frac{0,4}{\sigma-\eta_1\,\frac{\delta}{r}}\ \frac{\delta}{r}\ cos\,\beta+\left(\frac{0,2}{\sigma-\eta_1\,\frac{\delta}{r}}\right)^2} . . . . (35) \frac{\delta}{r}\,\varrho_0=\frac{d_0}{2}\sqrt{\frac{1}{\xi^2}\left(\frac{\delta}{r}\right)^2+\frac{0,4}{\sigma-\eta_1\,\frac{\delta}{r}}\ \frac{\delta}{r}\ \frac{cos\,\beta}{\xi}+\left(\frac{0,2}{\sigma-\eta_1\,\frac{\delta}{r}}\right)^2} . . . . (36) das Analogon zu Formel (20) durch: \frakfamily{K}_0\,\delta=\frac{\frakfamily{K}\,\delta}{f\,\frakfamily{k}_2\left(\frac{N}{N_1}\right)\,N_1}=\frac{(p+{p_1}'\,r)\frac{\delta}{r}+{p_1}''}{\left(\sigma-\eta_1\frac{\delta}{r}\right)\,n}+\frac{\delta}{r}(\varrho+\varrho_0) . . . . (37) Wird diese Formel zur Abkürzung geschrieben: 1000\,\frakfamily{K}_0\,\delta=\frac{A}{n}+B\,\frac{r}{n}+M, . . . . (38) sofern bedeutet: A=1000\ \frac{p\frac{\delta}{r}+{p_1}''}{\sigma-\eta_1\frac{\delta}{r}} . . . . (39)      B=\frac{{p_1}'}{\sigma-\eta_1\frac{\delta}{r}}\left(\frac{\delta}{r}\right) . . . . (40) und M=1000\ \frac{\delta}{r}\ (\varrho+\varrho_0) . . . . (41) so ergibt sich mit den in Formel (18) und (19) eingesetzten, also bei den Berechnungen des Abschnittes (a) angenommenen Werthen aus (31) bis (34), nämlich: p=25000          {p_1}'=125        {p_1}''=150 und ferner mit d=10 und d_0=16 nachfolgende Tabelle VII: Tabelle VII. δ : r = 0,0025 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 σ = 40η1 = 200 ABM 5160872 70501681 1050030102 1800070153 27000110214 36000140276 46600208348 σ = 16η1 = 400 ABM 1400021170 2000045200 33300104245 81000313370 225000938770 ––– ––– sowie mit Hilfe der letzteren gemäſs Formel (38) die Tabelle VIII: Tabelle VIII. δ = 0,25 0,5 1 2 3 4 σ  = 40η1 = 200 n = 300n = 100 r = 200r = 100r = 50r = 200r = 100r= 50 –  370  435–  524  636   190  220  285  280  334  444   120  150  225  183  237  368   80120210133202353     75  115–  120  198–   65110–118194– σ  = 16η1 = 400 n = 300n = 100 r = 200r = 100r= 50r = 200r = 100r= 50 –  8901110–13241688   460  562  746  7048901260   296  390  690  490  6821336 213372–392747–   200  610–  3901320– 212––452–– Die Ziffern dieser Tabelle VIII sind die Beträge 1000 \frakfamily{K}_0 für verschiedene Gröſsen von δ, r, n, σ und η1. Sollen mit ihnen die Jahresausgaben berechnet werden, so würde auch hier wieder die Formel (23) zur Anwendung kommen. Beispielsweise würde ein Riementrieb, dessen kleinste Scheibe einen Halbmesser r = 50cm hat und minutlich 300 Umdrehungen macht, während die gröſste Scheibe 4 mal so groſs ist, bei einer Riemendicke \delta=0^{cm},5 und bei den Festigkeits- und Elasticitätsverhältnissen \sigma=\varphi\,\frakfamily{S}=0,8\times 20=16, sowie \eta_1=\varphi\ (1-\varepsilon)\,E=0,8\times 500=400 gemäſs der 4. Horizontalrubrik von unten 746\times 0,03=22,38 Mark Jahresausgaben für jede übertragene Pferdestärke unter den auch übrigens gemachten Voraussetzungen verursachen. Ohne Vornahme einer solchen weiter gehenden Berechnung läſst sich aus den Ziffern der Tabelle VII unmittelbar nachfolgende Reihe von Schlüssen herleiten: 1) Bei groſser Zugfestigkeit nämlich \sigma=40 und bedeutender Elasticität, nämlich \eta_1=200 (also entsprechend einem kleinen Elasticitätsmodul)Der Elasticitätsmodul sollte logischer Unelasticitätsmodul oder Starrheitscoefficient genannt werden, da er die zum Ausdehnen erforderliche Kraft angibt, also demgemäſs beispielsweise für Eisen gröſser ist als für Gummi. erweist sich ein doppelter und sogar mehrfacher Riemen bis zu 4cm Dicke für alle Riementriebe, deren kleineren Scheiben gröſser als 50cm sind und mehr als 100 Umdrehungen minutlich machen, zweckmäſsiger als ein einfacher oder gar als ein besonders dünner. 2) Anscheinend ist diese Schluſsfolgerung auch noch für kleinere Halbmesser und für kleinere Geschwindigkeiten, als die bezeichneten, zutreffend. 3) Bei geringer Zugfestigkeit, entsprechend σ = 16, und geringer Elasticität, entsprechend η1 = 400 erweisen sich folgende Riemendicken am zweckmäſsigsten: δ = 3cm für n = 300 und r = 200 δ = 2cm fürfür n = 300n = 100 „„ r = 100r = 200 δ = 1cm fürfür n = 300n = 100 „„ r =   50r = 100 δ = 0cm,5 für n = 100 „ r =   50. 4) Für kleinere Radien und geringere Umdrehungszahlen werden voraussichtlich als zweckmäſsigste Riemendicken die Gröſsen δ < 0cm,5 zu bezeichnen sein. 5) Die unter 3 und 4 gethanen Aussprüche können mit groſser Wahrscheinlichkeit für deren Richtigkeit durch die einfacheren und erweiterten ersetzt werden, nämlich: Es erweist sich für alle Werthe r > 30cm am zweckmäſsigsten zu wählen: bei n = 300 δ : r = 0,02 „ n = 200 δ : r = 0,015 „ n = 100 δ : r = 0,01. Diese auffälligen und namentlich wegen des Umstandes, daſs unter gewissen Bedingungen Riemendicken bis zu 3cm die zweckmäſsigsten sein sollen, überraschenden Resultate haben mich veranlaſst, analoge Berechnungen auch unter der Voraussetzung einer Nichtbetheiligung des Luftdruckes, also eines Nullsetzens des Coefficienten k oder k0, mithin unter Anwendung unserer alten europäischen Formel anzustellen, jedoch unter Vernachlässigung der übrigens bei geringen Umdrehungen überhaupt ohne erkennbare Mitwirkung bleibenden Centrifugalkraft. Die Ergebnisse dieser Berechnungen sind im Wesentlichen mit den obigen in so fern übereinstimmend, als sie ebenfalls gröſsere Riemendicken, also auch mehrfache Riemen unter gewissen Bedingungen als am zweckmäſsigsten erscheinen lassen. Nun ist aber auch zu erwägen, daſs bei geringer Inanspruchnahme des Riemens, entsprechend einem geringen Betrage von σ, die Haltbarkeit eine dauerhaftere wird, und daſs demgemäſs die Amortisationszinsen und Reparaturkosten weniger hoch als andernfalls veranschlagt werden müssen. Um diesem Umstand Rechnung zu tragen, wurde noch nachfolgende Tabelle IX und X zusammengestellt, indem der Procentsatz \frakfamily{p} für die Riemen anstatt, wie bei den früheren Berechnungen, zu 20 nur zu 6 Procent und auſserdem der Abstand der Scheibenmittel anstatt zu 15m nur zu 6m angenommen und daher gemäſs Formel (31) bis (33) die Preisgröſsen: p=3000        {p_1}'=30        {p_1}''=150 gesetzt, übrigens aber auch σ = 10 und η1 = 500 eingeführt wurden. Aus den Formeln (34) bis (36) und (39) bis (41) ergab sich hiermit analog Tabelle VII zunächst: Tabelle IX. δ : r =σ  = 10 0,0025 0,005 0,01 0,015 0,02 A 18000 22000 36000 78000 ∞ η1 = 500 B 9 20 60 180 ∞ M 286 356 550 1090 ∞ und hiermit aus Formel (38): Tabelle X. δ =σ  =   10 0,125 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 n = 300 r = 200r = 100r = 50r = 25 –––3348 –139617282700   704  8721360∞ ––1800– 442690∞– –  980–– 355∞–– η1 = 500 n = 100 r = 200r = 100r = 50r = 25 –––4648 –190023443700   96812001880∞ ––2600– 616970∞– –1360–– 515∞–– Die für r = 200 eingeschriebenen Ziffern sind streng genommen nicht möglich, weil mit r = 200 und ξ = 4 der Abstand der Scheibenmittel mindestens (1 + ξ) r = 1000cm betragen müſste, derselbe hier aber nur zu 600cm angenommen wurde. Aus den Ziffern dieser letzten Tabelle, welche mit denen der Tabelle IX völlig analoge Bedeutung haben, also die Proportionalen der jährlichen Gesammtausgaben sind, läſst sich sofort der wirthschaftliche Vortheil der sehr groſsen Scheiben und der dicken Riemen ablesen. Im Besonderen ergibt sich daraus nahezu: Für n = 300 δ = 2 bei r = 200, also δ : r = 0,01 δ = 1 „ r = 100 „ δ : r = 0,01 δ = 0,5 „ r =   50 „ δ : r = 0,01 δ = 0,25 „ r =   25 „ δ : r = 0,01 Für n = 100 δ = 2 bei r = 200, also δ : r = 0,01 δ = 1 „ r = 100 „ δ : r = 0,01 δ = 0,5 „ r =   50 „ δ : r = 0,01 δ = 0,25 „ r =   25 „ δ : r = 0,01. Durch Zusammenfassung aller drei Gruppen von Resultaten können daher nachfolgende Aussprüche gethan werden: 1) Falls der Luftdruck mit mittlerer specifischer Intensität einwirkt, welche unabhängig von der Anspannung und der Geschwindigkeit des Riemens ist, entsprechend der Schmidt'schen Berechnungsweise, so stellen sich geringe Riemendicken δ als die wirthschaftlich vortheilhaftesten und jedenfalls einfache Riemen zweckmäſsiger als doppelte oder gar mehrfache dar. 2) Wirkt dagegen der Luftdruck gar nicht mit, oder hat er im Gegentheil eine beträchtliche specifische Intensität, welche sowohl mit der Anspannung des Riemens, als mit der Geschwindigkeit desselben wächst, entsprechend der von mir benutzten Formel (25), so erweisen sich dicke Riemen, sowie doppelte und mehrfache unter den weiter oben ausgesprochenen Bedingungen als die wirthschaftlich vortheilhaftesten. Im Besonderen ergibt sich für geringe Inanspruchnahme auf Zug, entsprechend σ = 10, und geringe Elasticität, entsprechend η1 = 500, bei allen gewöhnlich angewendeten Umdrehungszahlen δ : r = 0,01 und r möglichst groſs als am zweckmäſsigsten. 3) In dem Maſse, als die allen diesen Berechnungen zu Grunde gelegte Voraussetzung einer völligen Gleichartigkeit des Riemenmaterials insbesondern derartig, daſs der Festigkeitscoefficient \frakfamily{S} für alle Riemendicken δ als constant angenommen wurde, mit der Wirklichkeit im Widerspruch steht, müssen die obigen Aussprüche abgeändert werden. Demgemäſs würde für den wahrscheinlichen Fall, daſs im Allgemeinen die dünneren Riemen einen geringeren Festigkeitscoefficienten haben, der Ausspruch 1 etwas weniger, der unter 2 gethane aber, so weit er sich auf einfache Riemen bezieht, um so mehr zutreffend sein. Mehrfache Riemen dagegen müſsten rücksichtlich des Umstandes, daſs bei ihrer Fabrikation durch zweckentsprechende Anordnung der verschieden festen Ledersorten eine völligere Gleichartigkeit erzielt werden kann, mehr als den obigen Aussprüchen entsprechend angerathen werden. 4) In ähnlicher Weise würden Modifikationen nach Maſsgabe einer Abweichung von der den Berechnungen zu Grunde gelegten Voraussetzung eines für alle Breiten und Dicken constant bleibenden Preises der Volumeneinheit des Riemenmaterials vorzunehmen sein, so daſs mehrfache Riemen wegen relativ höherer Preiseinheit weniger vortheilhaft als den obigen Angaben entsprechend sich darstellen würden. 5) In dem Grade, als dickere oder mehrfache Riemen wegen geringerer Geschmeidigkeit nicht ebenso vollkommen, wie dünne Riemen, an die Umfange der Scheiben sich anschmiegen und den Luftdruck zur Mitwirkung gelangen lassen, sind sie weniger als letztere anzurathen. Auf Grundlage dieser Berechnungsresultate sollen nun in einem nächst folgenden Artikel zweckentsprechende Constructionsregeln aufgestellt werden. Brunn, Anfang Juni 1880.