Dimensionirung der Riementriebe; von Josef Pechan. Pechan, über Dimensionirung der Riementriebe. Aufgabe der folgenden Abhandlung soll es sein, den beiden gegenwärtig herrschenden Anschauungen über die Riemenspannung entsprechende Formeln zur Dimensionirung der Riementriebe zu gewinnen. Ueber die Berechnung der Riemenbreite sind recht schätzenswerthe Mittheilungen von J. F. Radinger (1878 228 385) gemacht worden, nach welchen hierfür die empirische Roper'sche Formel der sogen, theoretischen Formel vorzuziehen ist, indem bei ersterer die Mitwirkung des Luftdruckes zum Anschluſs des Riemens an die Riemenscheibe vorausgesetzt wird und somit eine geringere gesammte Riemenspannung im ziehenden Riemenstück, als bei der Herleitung der theoretischen Formel zu Grunde gelegt erscheint, dem zu Folge auch der durch den Riemenzug bedingte Lagerdruck unter Voraussetzung der Berechnung nach der theoretischen Formel weit gröſser sich ergibt als nach der Anschauung, welche der empirischen Roper'schen Formel zu Grunde liegt. Gustav Schmidt theilte bald darauf (1879 231 406) eine „theoretische Begründung dieser empirischen guten Regel,“ nämlich der Roper'schen Formel mit, welche nach dem Zusätze in D. p. J. 1879 231 550 dahin führt, daſs „je nach der willkürlichen Annahme der Roper'schen Constanten“ sich eben andere Werthe für die gesammte Riemenspannung im ziehenden Riemenstück ergeben, und auf Grund dieser Erkenntniſs wurden dortselbst drei verschiedene, willkürlichen Annahmen entsprechende Formeln aufgestellt, „anwendbar bis 240mm Riemenbreite“; die letzte dieser Formeln wird im Anhange zu Th. Schwartze's „Beitrag zur praktischen Berechnungsweise der Riemenbreiten im Riementrieb“ (1879 232 404) von G. Schmidt empfohlen. Im Anschluſs an die Mittheilungen von Th. Weiſs: „Zur Frage der Riementriebe“ (1880 236 177), welche in der Einleitung wohl sehr beachtenswerthe Sätze enthalten„Ein lose aufgelegter Riemen wird nicht vermöge des Luftdruckes die zu treibende Scheibe in Bewegung setzen. Vielmehr kann alle Tage beobachtet werden, daſs die Maschinenwärter dem durch Erschlafftsein der Riemen verursachten Stillstande oder mangelhaften Betriebe der Scheiben durch heftiges Anspannen der Riemen abhelfen.“, erachtet G. Schmidt die Riemenfrage „noch durchaus nicht als erledigt“ und glaubt sich berechtigt, vor der Hand noch immer die von ihm empfohlenen drei praktischen Regeln aufrecht halten zu dürfen, nach welchen die Riemenbreite in erster Linie davon abhängig gemacht wird, ob der Constructeur sich den bei uns üblichen groſsen Lagerdruck gefallen lassen will, oder ob die Umstände es zweckmäſsig erscheinen lassen, den Riementrieb lieber theurer, aber mit geringerem Lagerdruck herzustellen. Die endlich von Th. Weiſs in seinen weiteren Mittheilungen (1880 238 97) aufgestellten „Constructionsregeln für Riementriebe“ schlieſsen mit dem Absatze: „Endlich kann nochmals darauf hingewiesen werden, daſs die Anwendung der Riementriebe neuerdings und auf Grundlage der hier angestellten Berechnungen entgegen den früher üblichen Aussprüchen sich nicht wegen der von uns zeither übersehenen, übrigens auch noch nicht einmal sicher nachgewiesenen Mitwirkung des Luftdruckes als zweckmäſsig erweist, sondern einfach deshalb, weil die Fabrikation einigermaſsen breiter Riemen bei uns zu Lande bisher ein ungelöstes oder doch nur selten gelöstes Problem war und weil andererseits die Effectverluste bei weitem nicht so beträchtlich sind, als sie mit den früher in Rechnung gezogenen, neuerdings aber als bedeutend zu groſs erkannten Reibungscoefficienten sich darstellten.“ Sonach ist die Frage, ob die empirische Roper'sche Formel oder die sogen, theoretische Formel in der Anwendung vorzuziehen ist, keinesfalls in entscheidender Weise gelöst, so daſs man vom theoretischen Standpunkte ausschlieſslich die eine oder die andere für berechtigt erklären könnte. Es dürfte nun nicht uninteressant sein, einen Vergleich der beiden genannten, einander gegenüber stehenden Formeln für die Dimensionirung der Riementriebe vorzunehmen, ohne Bücksicht auf die theoretische Anschauungsweise, welche dem Zustandekommen der Formeln zu Grunde liegt, die schlieſslich auch für die Praxis von keinem Werth ist, indem der Riemen, welcher nicht zieht, eben nachgespannt wird und dieses Nachspannen den Constructeur des Riementriebes einerseits zumeist ganz unberührt läſst, andererseits auch ganz fern liegt, indem es eben der Maschinist oder in einer gröſseren Anlage der dazu bedienstete Sattler nach eigenem Ermessen ausführt derart, daſs der Riemen zieht, sobald die Riemenscheiben montirt sind und der neue Riemen zur Stelle geschafft und vorgerichtet ist, oder der bereits einige Zeit laufende Riemen nicht mehr zieht. Gelingt es hierbei nach guten Ausführungen die Uebereinstimmung beider Formeln in so weit zu erzielen, daſs beide dieselben Abmessungen für einen neu auszuführenden Riementrieb ergeben, dann ist die Frage in so fern der Lösung einen Schritt näher geführt, als es eben der Praxis des Riemenspanners oder jener des seine Maschine überlastenden Fabriksbesitzers anheim gegeben ist, den ihm übergebenen Riementrieb bestens zu verwalten. Bei den eingangs angeführten bisher gepflogenen Untersuchungen der Roper'schen Formel wurde überall für eine am Umfange der kleineren Riemenscheibe zu übertragende Kraft P der Riemenscheibenhalbmesser R willkürlich angenommen und danach die Riemenbreite berechnet. Ein Zusammenhang des Halbmessers der kleineren Riemenscheibe und der Riemenbreite ist an keiner Stelle in Betracht gezogenVgl. dagegen C. Bach in der Wochenschrift des Vereins deutscher Ingenieure. 1879 * S. 151. und doch lassen gute Ausführungen in der Praxis eine solche Wechselbeziehung unzweifelhaft erkennen. Man läſst nicht gern sehr breite Riemen auf Riemenscheiben von sehr kleinem Halbmesser laufen, sondern wendet erfahrungsgemäſs in das Gefühl übergegangene Verhältnisse an, wohl ohne sich derselben bewuſst zu sein. Gute Ausführungen lassen hierfür zur Uebertragung gewöhnlicher mittelgroſser Kräfte allgemein die Formel: \beta=25^{mm}+0,26\,R . . . . . . . . (1) und angenähert für gröſsere Riemenscheibenhalbmesser: \beta=0,26\,R . . . . . . . . (2) anwendbar erscheinen, wenn β die Riemenbreite und R den Halbmesser der kleineren Riemenscheibe in Millimeter bezeichnen. Setzt man ferner nach Reuleaux (Der Constructeur, 3. Aufl. S. 360) φ = 0,24 = Reibungscoefficient, α = 0,8π = umspannter Bogen für den Halbmesser gleich der Einheit, P = vom Riemen übertragene Kraft in Kilogramm, T = Riemenspannung im ziehenden Riemenstück in Kilogramm, so hat man für die theoretische Formel: T=2,4\,P . . . . . . . . (3) und diese lautet für den einfachen Riemen: \beta\,\delta\,S=T, . . . . . . . . (4) wobei noch δ die Riemendicke in Millimeter und S die zulässige Beanspruchung des Riemens in k/qmm bezeichnen. Setzt man ferner mit Reuleaux innerhalb gebräuchlicher Grenzen: S=1/200\,\sqrt[4]{\beta^3} und \delta=1,5\,\sqrt[4]{\beta} so erhält man auch: \delta\,S=1,5/200\,\beta=0,0075\,\beta . . . . . . . . (5) und dies ist eine praktisch ganz gut zulässige Annahme. Durch Verbindung der Gleichungen (3), (4) und (5) ergibt sich nun abgerundet die mit Reuleaux's Constructeur weit verbreitete einfache Formel: \beta=18\,\sqrt{P} . . . . . . . . (6) als Ergebniſs der theoretischen Formel, nach welcher wohl viele gut functionirende Riementriebe berechnet sind. Die von Radinger angegebene Roper'sche Formel lautet: \beta=0,236\,\frac{N}{v\,l}, . . . . . . . . (7) wobei N die zu übertragenden Pferdekräfte, b die Breite, v die sekundliche Geschwindigkeit und l die Auflagelänge an der kleineren Scheibe, alles in Meter, bedeuten. Nimmt man hierzu die Gleichung N = 1/75 Pv und führt die Riemenbreite β und die Auflagelänge l in Millimeter ein, so erhält man auch: \beta=1000\,\frac{0,236}{75}\ \frac{P}{l\,:\,1000}=3146,7\,\frac{P}{l}\beta=1000\,\frac{0,236}{75}\ \frac{P}{l\,:\,1000}=314,67\,\frac{P}{l} . . . . . . . . (8) Annähernd oder abgerundet läſst sich diese Formel auch schreiben: \beta=1000\,\pi\,\frac{P}{l} . . . . . . . . (9) Für die gleiche Voraussetzung des umspannten Bogens wie für Gleichung (3), nämlich α = 0,8π, und Einführung des Riemenscheibenhalbmessers R in Millimeter erhält man ferner: l=0,8\,\pi\,R . . . . . . . . (10) und durch Substitution dieses Werthes in die Gleichung (9): \beta=1250\,P\,:\,R . . . . . . . . (11) als Ergebniſs der Roper'schen Formel. Verbindet man nun diese Gleichung (11) mit (2), d.h. führt man den Riementrieb nach der Roper'schen Formel mit Riemenscheibenhalbmessern aus, wie sie auch annähernd bei Anwendung der theoretischen Formel angewendet erscheinen und als ganz zweckmäſsig gewählt bezeichnet werden können, so erhält man: \beta^2=0,26\,\times\,1250\,P\,= 325\,P oder \beta=18\,\sqrt{P}, also genau dieselbe Formel, welche früher als Ergebniſs der theoretischen Formel in Gleichung (6) gefunden wurde. In dieser ganz merkwürdigen Uebereinstimmung der Ergebnisse dieser beiden gegnerischen Formeln liegt wohl nichts Auffallendes, indem eben jetzt für beide Formeln die gleichen Voraussetzungen zu Grunde gelegt erscheinen, welche auch guten Riementrieben zur Uebertragung gewöhnlicher mittelgroſser Kräfte in der Praxis, wenn auch wohl bisher vielleicht ganz unbewuſst, vielleicht auch bewuſst, aber nicht in einer bestimmten Formel ausgedrückt, zu Grunde liegen. Man kann also im Hinblick auf diese Uebereinstimmung vom Standpunkte des praktischen Maschinenbaues ohne weiteres die Gleichung (6) im Zusammenhalte mit (2) zur Dimensionirung der Riementriebe zur Uebertragung gewöhnlicher mittelgroſser Kräfte zur Anwendung bringen, indem diese den beiderseitigen Ansprüchen rechnungsmäſsig genügt. Die Resultate dieser beiden Gleichungen in Verbindung mit Formel (12): PR = 716200 N : n, wobei noch n die minutliche Umdrehungszahl der kleineren Riemensteheibe und N die Anzahl der übertragenen Pferdekräfte bezeichnet, sind in folgender Tabelle I zusammengestellt, welche für die Tabelle I. β = 18√P = 1250 P : R = 0,26 R.    PR = 716200 N : n.   β max > 290mm. R β P PR N : n R β P PR N : n 175 45 6,3 1102 0,0015 540 140 61 32940 0,046 190 50 7,7 1463 0,0024 575 150 69 39675 0,055 210 55 9,3 1953 0,0027 650 160 79 48585 0,068 230 60 11,1 2553 0,0035 655 170 89 58295 0,081 250 65 13,0 3250 0,0045 690 180 100 69000 0,096 270 70 15,1 4077 0,0057 730 190 111 81030 0,113 290 75 17,3 5017 0,0070 770 200 123 94710 0,132 310 80 19,8 6138 0,0086 810 210 136 110160 0,154 325 85 22,3 7248 0,0101 845 220 149 125905 0,176 345 90 25,0 8625 0,012 885 230 163 144255 0,201 365 95 27,8 10150 0,014 925 240 177 163725 0,23 385 100 30,9 11900 0,017 960 250 193 185280 0,26 405 105 34,0 13770 0,019 1000 260 209 209000 0,29 420 110 37,3 15670 0,022 1040 270 225 234000 0,32 260 120 44,4 20420 0,029 1075 280 242 260150 0,36 500 130 52,2 26100 0,037 1115 290 260 289900 0,40 Für den Doppelriemen oder doppelt so breiten einfachen Riemen am gleichen Riemenscheibenhalbmesser sind die Tabellenwerthe von P, PR und N : n mit 2 zu multipliciren. Anwendung in der Praxis ziemliche Bequemlichkeit bieten dürfte, wie folgende Beispiele erkennen lassen. 1) Es soll eine doppelt wirkende Pumpe für s = 300mm Kolbenhub mit Antrieb durch Kiemen und Räderübersetzung gebaut werden, welche bei einer mittleren sekundlichen Kolbengeschwindigkeit c = 0m,25 zu ihrem Betrieb 1e,33 erfordert; die den Antrieb vermittelnde Transmissionswelle macht n = 100 Umdrehungen in der Minute. Welche Dimensionen sind den Riemenscheiben und dem Riemen zu geben und wie groſs ist die Räderübersetzung zu machen? Es ist hier für die kleinere Scheibe N = 1,33, n = 100.und N : n = 0,0133 und, weil letzterer Werth zwischen jenen 0,012 und 0,014 der Tabelle I liegt, entspricht annähernd: R = 360mm und β = 95mm; wenn mit Rücksicht auf ein zunächst passendes Modell für die zusammen arbeitende Riemenscheibe mit dem Halbmesser R1 = 400mm gewählt wird, so ergibt sich die Umdrehungszahl der Riemenscheibe auf der Antrieb welle des Pumpenantriebes: n1 = (R : R1) n = 90. Weil nun die Pumpe die Hubzahl n_2=\frac{30\,c}{s}=\frac{30\,\times\,0,25}{0,3} erfordert, ergibt sich die Räderübersetzung i=n_1\,:\,n_1=90\,:\,25=3,6. Die beiden Riemenscheiben erhalten sonach die Durchmesser 720 und 800mm, die Riemenbreite beträgt 95mm und die erforderliche Räderübersetzung ist 3,6. Rascher ist wohl eine solche Aufgabe den Anforderungen der Praxis entsprechend niemals gelöst worden. 2) Es sollen von der Haupttransmissionswelle, welche 80 Umdrehungen in der Minute macht, 10e auf eine zweite Welle übertragen werden, welche 120 minutliche Umdrehungen machen soll. Es sind die Durchmesser der beiden Riemenscheiben und die Riemenbreite zu bestimmen. Es ergibt sich für die kleinere Riemenscheibe hiernach N = 10, n = 120 und N : n = 10 : 120 = 0,083 und, weil letzterer Werth nach der Tabelle I jenem 0,081 nahe kommt, so entspricht annähernd R = 660mm und β = 170mm; demnach erhält die Riemenscheibe auf der Haupttransmissionswelle den Halbmesser R1 = 120/80 R = 1,5 × 660 = 990mm. Die beiden Riemenscheiben erhalten sonach die Durchmesser 1320 und 1980mm und die Riemenbreite wird 170mm. 3) Von der Schwungradwelle einer Dampfmaschine, welche bei 65 minutlichen Umdrehungen 60e Nutzeffect leistet, soll der Antrieb der Transmissionswelle mit 100 Umdrehungen in der Minute mittels Riemen erfolgen. Es ist der Riementrieb zu dimensioniren. Für die kleinere Riemenscheibe erhält man hiermit N = 60, n = 100, N : n = 0,6 und letzterer Werth ist der 2 fache Tabellenwerth 0,3 der Tabelle I: somit entspricht annähernd für einen Doppelriemen oder doppeltbreiten einfachen Riemen: R = 1000mm und β = 260mm. Es erhalten die beiden Riemenscheiben die Durchmesser 2000 und 3080mm und der Riemen ist ein Doppelriemen von 260mm Breite oder ein einfacher Riemen von 520mm Breite. In gleicher Weise läſst sich die Dimensionirung unter alleiniger Benutzung der Roper'schen Formel nach Gleichung (11) im Zusammenhalte mit der genauen empirischen Formel (1) durchführen und sind die Resultate dieser Formeln in der folgenden Tabelle II für die Anwendung in der Praxis zusammengestellt. Für die kleineren Riemenscheibendurchmesser ergibt die Roper'sche Formel hiernach für dieselbe Riemenbreite einen kleineren Werth der Umfangskraft als die theoretische Formel nach Gleichung (6) im Zusammenhalte mit der genauen empirischen Formel (1); die Ergebnisse der letzteren beiden Formeln (6) und (1) aber zeigen hierin bessere Uebereinstimmung mit unseren Ausführungen und sind mit abgerundeten Werthen ebenfalls Tabelle II. β = 1250 P : R = 25mm + 0,26 R.   PR = 716200 N : n.   β max > 290mm. R β P PR N : n R β P PR N : n 75 45 2,7 202 0,0003 450 140      50,4 22680 0,032 100 50 4,0 400 0,0006 475 150   57 27070 0,038 115 55 5,0 575 0,0008 500 160   64 32000 0,045 125 60 6,0 750 0,0010 550 170   75 41250 0,058 150 65 7,8 1170 0,0016 600 180   87 52200 0,073 175 70 9,8 1715 0,0024 635 190   97 61590 0,086 190 75 11,4 2166 0,0030 650 200 104 67600 0,094 200 80 12,8 2560 0,0036 700 210 118 82600 0,115 225 85 15,3 3440 0,0048 750 220 132 99000 0,138 250 90 18,0 4500 0,0063 785 230 144 113000 0,16 275 95 20,9 5750 0,0080 800 240 154 123200 0,17 300 100 24,0 7200 0,0100 850 250 170 144500 0,20 310 105 26,0 8060 0,0112 900 260 187 168300 0,23 325 110 28,6 9290 0,013 950 270 205 194700 0,27 350 120 33,4 11690 0,016 980 280 220 215600 0,30 400 130 41,6 16640 0,023 1000 290 232 232000 0,32 Für den doppelt so breiten einfachen Riemen am gleichen Riemenscheibenhalbmesser sind die Tabellenwerthe von P, PR und N : n mit 2 zu multipliciren. für den praktischen Gebrauch in der folgenden Tabelle III zusammengestellt: Tabelle III. β = 18√P = 25mm + 0,26R.   PR = 716200 N : n.   β max = 290mm. R β P PR N : n R β P PR N : n 75 45 6,3 470 0,0006 450 140 61 27225 0,038 100 50 7,7 770 0,0011 475 150 69 32775 0,046 115 55 9,3 1070 0,0015 500 160 79 39500 0,055 125 60 11,1 1388 0,0019 550 170 89 48950 0,068 150 65 13,0 1950 0,0027 600 180 100 60000 0,084 175 70 15,1 2643 0,0037 635 190 111 70480 0,098 190 75 17,3 3287 0,0046 650 200 123 79950 0,111 200 80 19,8 3960 0,0055 700 210 136 95200 0,13 225 85 22,3 5018 0,0070 750 220 149 111750 0,16 250 90 25,0 6250 0,0087 785 230 163 127950 0,18 275 95 27,8 7645 0,0106 800 240 177 141600 0,20 300 100 30,9 9270 0,013 850 250 193 164050 0,23 310 105 34,0 10540 0,015 900 260 209 188100 0,26 325 110 37,3 12123 0,017 950 270 225 213750 0,30 350 120 44,4 15540 0,022 980 280 242 237160 0,33 400 130 52,2 20880 0,029 1000 290 260 260000 0,36 Für den Doppelriemen am gleichen Riemenscheibenhalbmesser sind die Tabellenwerthe von P, PR und N : n mit 2 zu multipliciren. Es mag sein, daſs es auch unzählig Adele Riementriebe gibt, welche gut functioniren und von der Gleichung (1) abweichende Verhältnisse aufweisen, namentlich solche mit kleineren Riemenscheibendurchmessern und breiteren Riemen; aber es ist sicher nicht zu bestreiten, daſs die nach den Tabellen I bis III berechneten und insbesondere die normalen Riemenscheibendurchmesser und Riemenbreiten nach der Tabelle III, eben wegen der gröſseren Scheibendurchmesser und schmäleren Riemen, ökonomisch günstigere Riementriebe ergeben als kleinere Durchmesser und breitere Riemen, während andererseits viel gröſsere Riemenscheiben zumeist unbequem unterzubringen sind. Nach der Tabelle II erhält man als Auflösung annähernd: Für das 1. Beispiel R = 335mm und β = 110mm „ „ 2. „ 625 190 „ „ 3. „ 980 280 × 2 = 560mm und nach der Tabelle III: für das 1. Beispiel R = 300mm und β = 105mm „ „ 2. „ 600 180 „ „ 3. „ 950 270 Doppelriemen.