Messvorrichtungen.Die Schwingungszahlen der einfachen Wagebalken, mit besonderer Rücksicht auf einfache Handelswagen als Hilfsmittel zur Justirung derselben. (Schluss der Abhandlung S. 225 d. Bd.) Mit Abbildungen. Die Schwingungszahlen der einfachen Wagebalken u.s.w. II. Untersuchung des Wagebalkens mit Schalen und voller Belastung. Wie bereits erwähnt, sei F das Gewicht einer Wageschale in Gramm und L die Belastung derselben. e2 ist der Abstand der Verbindungslinie der Endachsen von der Mittelachse. Die Dauer einer Schwingung ist wieder t=\pi\,\sqrt{\frac{\mbox{Trägheitsmoment}}{\mbox{statisches Moment}}} der belasteten Wage. Textabbildung Bd. 307, S. 249 Fig. 2. Das Trägheitsmoment des belasteten Balkens ist \frac{W\,\varrho^2+2\,(L+F)\,l^2}{g}, das statische Moment = We1 + 2 (L + F) e2, t=\frac{\pi}{\sqrt{g}}\,\sqrt{\frac{W\,\varrho^2+2\,(L+F)\,l^2}{W\,e_1+2\,(L+F)\,e_2}} t^2=\frac{\pi^2}{g}\,\frac{W\,\varrho^2+2\,(L+F)\,l^2}{W\,e_1+2\,(L+F)\,e_2}. Wird wieder t durch \frac{60}{z} und \frac{\pi^2}{g}=\frac{1}{995} ersetzt, so ist \frac{3582000}{z^2}=\frac{W\,\varrho^2+2\,(L+F)\,l^2}{W\,e_1+2\,(L+F)\,e_2}. Analog Gleichung 2 kann gesetzt werden: e_2=\frac{l^2\,q_2}{2\,(L+F)\,m}. Wird der Wagebalken um den Winkel α gedreht, so ist Gleichgewicht, wenn q2l cos α = 2 (L + F) sin α e2 ist, q2l = 2 (L + F) tg α e2 tg\,\alpha=sin\,\alpha=\frac{m}{l} q_2\,l=2\,(L+F)\,\frac{m}{l}\,e_2 e_2=\frac{l^2\,q_2}{2\,(L+F)\,m}. Man kann daher auch setzen für We1+ 2 (L + F) e2, wenn e1 durch \frac{l^2\,q_1}{W\,m} und e2 durch \frac{l^2\,q_2}{2\,(L+F)\,m} ersetzt wird: \frac{W\,l^2\,q_1}{W\,m}+\frac{2\,(L+F)\,l^2q_2}{2\,(L+F)\,m}=\frac{l^2\,q_1}{m}+\frac{l^2\,q_2}{m}=\frac{l^2}{m}\,q, wenn q1 + q2 = q das gesammte Uebergewicht bedeutet. e2 kann jedoch, je nachdem der Drehpunkte über oder unter der Verbindungslinie der Schneiden liegt, positiv oder negativ sein. In letzterem Falle wird auch q2 negativ und daher q = q1 – q2. q2 kann nicht wie q1 direct ermittelt werden, sondern immer nur nach Ermittelung von q und q1 als q2 = q – q1, wenn e2 positiv, oder q2 = q1 – q, wenn e2 negativ ist. Wird der für We1 + 2 (L + F) e2 gefundene Werth in die erste Gleichung eingesetzt, so ergibt sich: \frac{3582000}{z^2}=\frac{W\,\varrho^2+2\,(L+F)\,l^2}{q\,\frac{l^2}{m}} \frac{q}{m}\,\frac{3582000}{z^2}=\frac{W\,\varrho^2}{l^2}+2\,(L+F) z^2=\frac{3582000}{m}\,.\,\frac{q}{\frac{W\,\varrho^2}{l^2}+2\,(L+F)} . . (6 \frac{\frac{W\,\varrho^2}{l^2}+2\,(L+F)}{q} kann als Empfindlichkeit der belasteten Wage angenommen werden. Die Grösse von \frac{\varrho^2}{l^2} kann, wie bereits erwähnt, bei Handelswagen mit ⅛ angenommen werden, wenn es auch am besten ist, wenn es durch z und e1 nach Formel 1 jedesmal bestimmt wird. Für m = 1 und \frac{\frac{W\,\varrho^2}{l^2}+2\,(L+F)}{q}=5000 wird z^2=\frac{3582000}{5000}=716z = 27, für m = 10 z2 = 72, z = 8,5. Man muss dabei immer in Betracht ziehen, dass m von der Zulage q abhängt, also in ruhendem Zustande hervorgebracht zu denken ist, denn die Grösse der Schwingung kommt dabei nicht in Betracht. Dagegen erscheint es aus diesem Grunde wiederum für vortheilhaft, die praktisch anzuwendende Formel auf die Länge des Wagebalkens zu gründen und einen constanten Ausschlagwinkel anzunehmen. Multiplicirt man in der Gleichung 6, auf der rechten Seite, Zähler und Nenner mit l, so gestaltet sich dieselbe z^2=\frac{3.582000}{}\,\frac{l}{m}\,\frac{q}{\frac{W}{3}+2\,(L+F)\,l}. Ist \frac{l}{m}=50\ \mbox{ und }\ \frac{\frac{W}{3}+2\,(L+F)}{q}=5000, so ist z^2=\frac{35820}{l}, für den leeren Wagebalken war z^2=\frac{107460}{l}, also dreimal grösser. Nach der Formel z^2=\frac{35820}{l} ist die folgende Tabelle berechnet. Die dieser Tabelle in ihren Schwingungszahlen entsprechenden Wagen werden die zur Aichung nöthige Empfindlichkeit haben und werden sich durch Zulage von q um 1/50 der Wagebalkenlänge senken. l = 50 z 2 = 716 z = 27 l = 100 z 2 = 352 z = 19 l = 200 z 2 = 179 z = 13 1 = 300 z 2 = 119 z = 11 l = 400 z 2 = 89 z =   9,5 l = 500 z 2 = 72 z =   8,5 l = 600 z 2 = 60 z =   7,8 l = 700 z 2 = 50 z =   7,1 l = 800 z 2 = 45 z =   6,7 l = 900 z 2 = 40 z =   6,4 l = 1000 z 2 = 36 z =   6,0 Untersuchung der Frage, in welchen Fällen es vortheilhaft ist, e 1 und mit ihm q 2 negativ zu nehmen. Das Verhältniss von W zu 2 (L + F) ist nach den verschiedenen Constructionen verschieden. Im Allgemeinen ist W etwa = 0,07 2 (L + F), bei automatischen Wagen wird aber W = 0,25 2 (L + F) und bei feinen, chemischen Wagen wird W = 1,25 2 (L + F) in einzelnen Fällen. Es sei W = 500000, wie es bei automatischen Wagen vorkommt, 2 (L + F) = 2000000, q = 1/40000 von 2 (L + F), so ist q = 50 und, wenn q = q1 – q2 sein soll, q1 = 100, q2 ebenso viel, l = 500, m=15\,\frac{l^2}{\varrho^2}=3. Dann ist für den leeren Balken: z^2=\frac{3582000\,\times\,100\,\times\,3}{15\,\times\,500000}=144z also 12, für den belasteten Balken: z^2=\frac{3582000\,\times\,50}{15\,\times\,2166666}=5,5z = 2,34 e_1=\frac{500\,\times\,500\,\times\,100}{500000\,\times\,15}=3,33 -e_2=\frac{500\,\times\,500\,\times\,50}{2000000\,\times\,15}=-0,416. Berechnet man zur Vergleichung z nochmals unter der Voraussetzung, dass q = q1 + q2 , also q1 = q2 = 25, so erhält man z^2=\frac{3582000\,\times\,3\,\times\,25}{15\,\times\,500000}=36z = 6 für den leeren Balken. Für den belasteten Balken bleibt z dasselbe wie vorher, weil q dasselbe geblieben: e_1=\frac{500\,\times\,500\,\times\,25}{500000\,\times\,15}=0,833 e_2=\frac{500\,\times\,500\,\times\,25}{2000000\,\times\,15}=0,15. Ein besonderer Vortheil wird hier nicht dadurch erreicht, dass man e2 und q2 negativ macht, denn die Empfindlichkeit des leeren Balkens wird dadurch geringer und die Schwingungszahl grösser, während der leere Wagebalken doch recht empfindlich sein soll. Bei sehr feinen Wagen lässt sich schon eher ein Vortheil der negativen Anordnung nachweisen. Es sei W = 16, 2 (L + F) = 12, für L = 5 und F = 5, \frac{l^2}{\varrho^2}=2, l = 100, m = 1, dann ist: \frac{W}{2}+2\,(L+F)=20 \frac{q}{\frac{W}{2}+2\,(L+F)}=\frac{1}{10000} q=0,0002-q_1=0,001-q_2=0,0008 e_1=\frac{100\,\times\,100\,\times\,0,0001}{16\,\times\,1}=0,62 -e_2=\frac{100\,\times\,100\,\times\,0,0008}{12\,\times\,1}=-0,66, für den leeren Balken: z^2=\frac{3582000\,\times\,0,002\,\times\,2}{1\,\times\,16}=448z = 21, für den belasteten Balken: z^2=\frac{3582000\,\times\,0,0002}{1\,\times\,20}=36z = 6. Für q = q1 + q2 wird q1 = 0,0001 und q2 = 0,0001, e_1=\frac{100\,\times\,100\,\times\,0,0001}{16\,\times\,1}=0,062 e_2=\frac{100\,\times\,100\,\times\,0,0001}{12\,\times\,1}=0,083, für den leeren Balken: z^2=\frac{3582000\,\times\,0,0001}{1\,\times\,16}=22,4z = 4,7, für den belasteten Balken bleibt: z2 = 36 z = 6. Hierbei tritt der Vortheil der negativen Anordnung klar zu Tage, denn e1 ist 0,62 statt 0,062, e2 = – 0,66 statt 0,083; beide Werthe sind also 10mal so gross. Die Schwingungszahl des leeren Balkens ist = 21 statt 4,7, dies ist von grossem Vortheil bei der feinen Wage, denn hier spielt der Verlust durch Reibung eine sehr grosse Rolle, und verlangsamt die Schwingung sehr. Jedenfalls soll e2 negativ in allen Fällen werden, in denen W > 2 (L + F) wird. Der Einfluss des Eigengewichtes der Wagebalken auf die Empfindlichkeit. In den Kreisen der Verfertiger von gleicharmigen Handelswagen wird vielfach der Einfluss des Eigengewichtes der Wagebalken überschätzt und die Wagebalken unnöthiger Weise leicht und, weil durchbrochen, zu theuer hergestellt. Wie schon erwähnt, ist das Verhältniss von W zu 2 (L + F) ein verschiedenes. Es schwankt von W = 0,07 2 (L + F), 0,25 2 (L + F), 0,5 2 (L + F) bis zu 1,5 2 (L + F). Sei E=\frac{W+2\,(L+F)}{q}, so ist E\,a=\frac{1,07\,\times\,2\,(L+F)}{q} E\,b=\frac{1,25\,\times\,2\,(L+F)}{q} E\,c=\frac{1,5\,\times\,2\,(L+F)}{q} E\,d=\frac{2,5\,\times\,(L+F)}{q}. Wird W in allen vier Fällen auf die Hälfte heruntergesetzt, so ist E\,a_1=\frac{1,035\,\times\,2\,(L+F)}{q} E\,b_1=\frac{1,125\,\times\,2\,(L+F)}{q} E\,c_1=\frac{1,25\,\times\,2\,(L+F)}{q} E\,d_1=\frac{1,75\,\times\,2\,(L+F)}{q}. Es verhält sich demnach Ea : Ea 1 = 104 : 100 Eb : Eb 1 = 110 : 100 Ec : Ec 1 = 120 : 100 Ed : Ed 1 = 143 : 100. Während also W um 50 Proc. leichter geworden ist, haben sich die Empfindlichkeiten nur im Verhältnisse 104 : 100, 110 : 100, 120 : 100, 143 : 100 verändert. Für gewöhnliche Handelswagen, welche in Ea fallen, spielt demnach das Gewicht des Wagebalkens keine Rolle.