Die Biegungslehre gerader Stäbe mit veränderlichem Dehnungskoeffizienten. Von W. Schüle, Ingenieur, Oberlehrer in Breslau. Die Biegungslehre gerader Stäbe mit veränderlichem Dehnungskoeffizienten. Schon vor einer Reihe von Jahren ist von C. v. Bach die Unrichtigkeit der gewöhnlichen Biegungsformeln für Gusseisen und Steine hervorgehoben und durch Versuche klargestellt wordenVgl. z.B. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1888 S. 193 ff.. Die Ursache liegt in der Veränderlichkeit des Dehnungskoeffizienten mit der Spannung, die schon für Gusseisen recht erheblich und bei vielen Gesteinsarten, besonders Granit und Sandstein, so bedeutend ist, dass die Biegungsspannungen und Durchbiegungen nach dem alten Verfahren nicht einmal annähernd richtig berechnet werden können. Die Aufstellung von allgemeiner gültigen Biegungsformeln setzt die Kenntnis der Gesetze der Zug- und Druckelastizität voraus. Durch die Versuche von G. v. Bach war es möglich geworden, eine allgemeine Formel für die Elastizität aufzustellen und damit war die Grundlage für die erweiterte Biegungstheorie gegeben. Zwei Hauptaufgaben hat diese in erster Linie zu lösen. Sie hat zu zeigen, dass die grösste Zugspannung beim Bruch durch Biegung ebenso gross ist wie die Zugfestigkeit des Materials, gewonnen aus Zugversuchen – oder auch das Gegenteil davon; und sie hat anzugeben, wie für eine beliebige äussere Last die grösste Spannung und die Durchbiegung zu berechnen ist. Die Biegungstheorie kann nur unter den zwei Annahmen entwickelt werden, dass die Querschnitte, sofern man von den Schubkräften absieht, bei der Biegung eben bleiben, und dass die Zug- und Druckelastizität der gebogenen Fasern dieselbe ist, wie unter gewölnlicher Zug- und Drucklast. Die Richtigkeit dieser Annahmen würde als erwiesen gelten müssen, sobald es gelingt, mit Hilfe bekannter Dehnungskoeffizienten für Zug und Druck die Durchbiegung eines gebogenen Balkens für eine Reihe von Lasten im voraus zu berechnen. Direkte Messungen zur Prüfung beider Annahmen liegen zwar vor (vgl. die Untersuchungen von Barlow und Föppl, Ueber die Lagen der Nullachse im gebogenen Stab); sie sind aber wegen der Kleinheit der fraglichen Grössen und wegen der grossen Schwierigkeit, diese genau zu messen, nicht über alle Zweifel erhaben, wie aus den Abhandlungen der letzten Jahre über den Gegenstand zu schliessen istDesgl. 1899 S. 205 ff.. In der IV. Auflage von C. Bach, Elastizität und Festigkeit, S. 242 ff, ist nun ein Versuch mitgeteilt, der sich zur Ausführung der indirekten Prüfung der allgemeinen Biegungstheorie vorzüglich eignet, und diese Prüfung soll u.a. im folgenden durchgeführt werden. Bis jetzt liegt, nach Wissen des Verfassers, eine weiter ausgebaute Theorie nicht vor. Es sind zwar Biegungsformeln unter Anwendung des Potenzgesetzes entwickelt worden (von Latowski und Ensslin), sie enthalten aber keine explizite Darstellung der Lage der Neutralachse als Funktion des Momentes und ermöglichen deshalb die Berechnung der Biegungslinie nicht. Die Theorie muss daher im folgenden von Grund aus entwickelt werden. Sie wird die schätzbaren Ergebnisse der erwähnten Entwickelungen enthalten, im übrigen aber einen Schritt nach vorwärts thun müssen. Der einfachste Fall der Spannungsverteilung in einem gebogenen Stab mit rechteckigem Querschnitt kann unter Zugrundlegung der erwähnten Annahmen graphisch genau gelöst werden, sobald die Linienzüge der Zug- und Druckelastizität bekannt sind, ohne dass man diese analytisch zu fassen braucht. In C. Bach, Elastizität und Festigkeit, IV. Aufl., ist das Verfahren mitgeteilt. Das Resultat ist, dass bei Gusseisen die grösste Zugspannung beim Bruch fast genau mit der gewöhnlichen Zugfestigkeit übereinstimmt. Für andere Querschnitte versagt aber das Verfahren und auch der zweite Teil der oben gestellten Aufgabe, dessen Lösung die Grundlagen des ersten zu rechtfertigen hat, steht noch aus. Ohne einen speziellen analytischen Ausdruck für die Dehnungslinien ist die Lösung nicht möglich. Von vornherein hat ein solcher Ausdruck zwei Bedingungen gerecht zu werden. Er muss die Resultate der Dehnungsversuche möglichst genau wiedergeben, d.h. er muss möglichst richtig sein, und er muss in der Richtung zweckmässig sein, dass er die nötigen analytischen Entwickelungen nicht durch seine Form verhindert. Deutlich zeigte sich nach Aufstellung der Dehnungsformel ε = ασm, dass diese zwei Anforderungen zu befriedigen sind, an den Kritiken, die über diese Formel laut wurden. Ihre Richtigkeit wurde von technischer und physikalischer, ihre Zweckmässigkeit von mathematischer Seite bestritten. Beide Vorwürfe werden im folgenden zu würdigen sein, ehe das Potenzgesetz als Grundlage der Biegungstheorie gewählt wird. Das Dehnungsgesetz. Das Potenzgesetz ist ein mathematischer Ausdruck, der die elastischen Dehnungen innerhalb der für die Technik nach oben und unten gezogenen Grenzen sehr genau zum Ausdruck bringt (vgl. C. Bach, Elastizität und Festigkeit), und zwar für alle bisher untersuchten Stoffe, ausgenommen die Druckelastizität von Marmor und Kautschuk. Dies muss als festliegend gelten. Bei seiner Aufstellung war das Bestreben massgebend, den Versuchsresultaten so viel wie irgend möglich gerecht zu werden. Für die gezogenen Grenzen ist daher an der Richtigkeit des Potenzgesetzes nicht zu zweifeln und keine andere bis jetzt bekannt gewordene Formel gibt eine bessere Uebereinstimmung. Bei Spannungen, die meist höher liegen als technisch gebräuchliche, zeigen fast alle Versuche zum Teil merkliche, zum Teil sehr bedeutende Abweichungen vom Potenzgesetz. Von dem Verfasser ist nachgewiesen wordenZeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1898 S. 855 ff., dass die Wendepunkte der Dehnungslinien für Druck und die starken Krümmungen für Zug, die sich bei hohen Spannungen einstellen, bei allen Versuchen durch ein quadratisches Zusatzglied zur Potenzformel sehr genau dargestellt werden, ohne dass sich der Exponent der einfachen Potenzformel wesentlich ändert; auch für Marmor und Kautschuk gilt dasselbe und dadurch wird für kleine Spannungen das Bestehen des Potenzgesetzes für diese Stoffe, die sonst eine Ausnahme bildeten, höchst wahrscheinlich gemachtZeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1898 S. 855 ff.. Auch dieses Zusatzglied, mit welchem die bis zu den höchsten Pressungen gültige Elastizitätsgleichung die Form σ = aεk – hε2 annimmt, verdankt seine Entstehung dem Bestreben, einen möglichst genauen und gemeinsamen Ausdruck für alle scheinbar so widersprechend laufenden Dehnungslinien, gültig für das ganze gemessene Gebiet, zu finden. Seine Richtigkeit kann ebensowenig bezweifelt werden, wie die des Potenzgesetzes in seinem Bereich. Textabbildung Bd. 317, S. 150 Fig. 1. Biegungsversuch mit Gusseisen von Kohlrausch und Grüneisen. σb = 0,173 kg/qcm bei 0,1 g Belastung bis σb = 86,5 kg/qcm bei 50 g Belastung. Die grössten Bedenken erweckte aber das Verhalten der Potenzkurve beim Durclgang durch die Spannung 0. Dort wird \frac{d\,\varepsilon}{d\,\sigma}=0, gegen den Ursprung hin würde also das Material immer weniger elastisch werden. Das ist richtig, wenn auch \frac{d\,\varepsilon}{d\,\sigma}=0 für m{{>1}\atop{<2}} keine Berührung im gewöhnlichen Sinne, sondern einen sogen. Wendespitzpunkt oder Rückkehrpunkt ausdrückt, und die Spannungsachse weit weniger innig berührt wird als bei zweipunktiger Anschmiegung. Bei Gusseisen ergaben aber die kleinsten Dehnungen bei 10 bis 20 kg/qcm Spannung (100 bis 200 g pro 1 qmm) noch keine Abweichung vom Potenzgesetz, desgleichen für Granit Druck bei 14 kg, Zug bei 3,5 kg, bei Cement und Beton Druck bei 8 kg, bei Leder bei I kg, bei Marmor Zug bei 3,6 kg, bei Sandstein bei 1,7 kg. Dies sind jeweils die kleinsten der bei dem betreffenden Material benutzten Spannungen. Und so wenig war bei den kleinsten Spannungen irgend eine. Abweichung zu erkennen, dass vielmehr die Uebereinstimmung der Dehnungskurve mit der Potenzkurve um so besser wird, je kleiner die Spannungen sindDesgl. 1898 S. 855 ff.. Bezüglich des alten Dogmas, nach welchem die Proportionalität um so genauer zutreffen müsse, je kleiner die Spannungen sind, ist übrigens ohne Rechnung aus der Form der Dehnungslinien zu entnehmen, dass es nichts weiter als eine falsche Annahme ist. Es liegt aber zunächst kein Grund vor zu behaupten, die Dehnungslinie müsse auch bei kleineren als den kleinsten gemessenen Spannungen dem Potenzgesetz folgen; denn die Interpolation, die dabei nötig wird, gestattet keinen ganz sicheren Schluss. Aber eine Strecke weit unterhalb der kleinsten Spannungen gilt das Potenzgesetz nach dem Obigen noch mit Sicherheit und damit wird das fragliche Gebiet sehr eng umgrenzt – auf die Spannungen zwischen 3 und 6 kg/qcm (30 bis 60 g pro 1 qmm). Das ganz auffallende Verhalten der Potenzkurven, besonders für Werte von m sehr nahe bei 1 erkennt man nicht so gut an dieser Kurve selbst als an der Kurve \left(\frac{d\,\varepsilon}{d\,\sigma}\right)=\alpha\,m\,\sigma^{m-1} oder an \left(\frac{\varepsilon}{\sigma}\right)=\alpha\,\sigma^{m-1}, welche die Veränderlichkeit des Elastizitätsmodulus anzeigen. Bis nahe vor den Ursprung läuft diese Linie fast parallel der Spannungsachse und macht dann eine plötzliche Wendung, um steil abzufallen. Das ist zweifellos ein Verhalten, das zum Widerspruch reizt, so lange es nicht gelingt, einen derartigen Verlauf durch Versuche zu konstatieren. Durch Biegung sehr dünner Stäbe lassen sich schon bei sehr kleinen Spannungen messbare Formänderungen hervorbringen, aus denen, wenigstens überschlägig, auf das elastische Verhalten gegen Zug und Druck geschlossen werden kann. Ein solcher Versuch, der ja mehr physikalisches als technisches Interesse hat, aber für die vorliegende Frage von Bedeutung ist, ist von Kohlrausch und Grüneisen ausgeführt wordenUeber die durch sehr kleine elastische Verschiebungen entwickelten Kräfte. Sitzungsbericht der Kgl. Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Sitzung vom 14. November 1901).. Ein 20 mm breiter, 2 mm starker, 922 mm langer Gusseisenstab wurde in der Mitte durch Biegungskräfte von 0,1 bis 50 g belastet, was grössten Spannungen von 0,173 bis 86,5 kg/qcm entspricht. In Fig. 1 ist die Linie gezeichnet, Welche zu Abscissen die Belastungen, zu Ordinaten das Verhältnis der Durchbiegung zur Belastung hat und durch ihren Verlauf die Veränderlichkeit des Dehnungskoeffizienten erkennen lässt. Sie läuft gerade so auffallend, wie die Potenzkurve es verlangt. Durch eine ungefähr parallel gezeichnete Potenzkurve mit dem Exponenten 0,008 ist dies noch mehr verdeutlicht. Hiermit ist der Beweis erbracht, dass auch bei diesen kleinsten Spannungen das Potenzgesetz noch richtig ist, was übrigens die Verfasser selbst rechnerisch erwiesen habenDie Elastizität des Gusseisens ist bekanntlich für Zug und Druck verschieden. Infolgedessen muss unter Zugrundlegung des Potenzgesetzes das Biegungsgesetz der Beziehungy = A . Pm' + B . Pm''folgen und nicht der einfachen Potenzforrn. Bei Beachtung dieses Umstandes hätten die Verfasser noch eine wesentlich bessere Uebereinstimmung mit dem Potenzgesetz erhalten. Gerade für die kleinsten Werte lässt sich die Summenform am wenigsten genau durch die einfache Form ersetzen.. Strittig bleibt danach nur das Gebiet zwischen etwa 0,1 kg/qcm (1 g pro 1 qmm) und 0. Vom physikalischen Standpunkt aus nehmen die Verfasser an, dass hier doch noch eine Abweichung vom Potenzgesetz zu vermuten sei. Vom technischen Standpunkt ist das Verhalten des Materials bei so kleinen Spannungen, die meist von den Gewichtsund sonstigen Nebenspannungen weit übertroffen werden, völlig gleichgültig; das Für oder Wider ist für die folgenden Betrachtungen ohne Belang. Die Potenzformel muss aber für sich das Verdienst in Anspruch nehmen, auf das gänzlich unerwartete elastische Verhalten fester Körper bei sehr kleinen Spannungen zuerst aufmerksam gemacht zu haben und selbst der erste sehr zutreffende Ausdruck dafür zu seinDass die Potenzformel auch Verschiedenheiten in der Zusammensetzung des Materials sehr deutlich zum Ausdruck bringt, ist in C. v. Bach, Elastizität und Festigkeit, III. Aufl. S. 57, IV. Aufl. S. 65, hervorgehoben.. Wenn weitere Versuche zeigen sollten, dass das obige Resultat nur für Gusseisen gelte, sodwürde darunter die Brauchbarkeit der Formel ε = ασm für technische Rechnungen nicht leiden. Was schliesslich die Zweckmässigkeit der für Biegungsrechnungen zu verwendenden Funktion betrifft, so sind von vornherein die Formen im Nachteil, in welchen die Spannung g nicht explizit vorkommt. Der Grund ist, dass bei der Biegungstheorie von einem bekannten Formänderungsgesetz (Ebenbleiben der Querschnitte) ausgegangen wird. Die Gleichungen ε = ασ + βσ2+ γσ3 (J. O. Thompson) ε = ασ + β . σ1,5 (Kohlrausch und Grüneisen) scheiden aus diesem Grund vollständig aus. Es ist ganz unmöglich, mit ihnen brauchbare Biegungsrechnungen anzustellen. Dieser Umstand wird namentlich von den Physikern leicht übersehen. Die von R. Mehmke vorgeschlagene Form ε = ασ + βσ2 macht Schwierigkeiten, da schon durch Auflösung nach g Quadratwurzeln entstehen; die Bestimmung der Durchbiegung wird sie nicht gestatten. Die Form σ = αε + bε2 führt auf eine nicht allgemein lösbare Gleichung vom 6. Grad für die Lage der Neutralachse und erfüllt den Zweck auch nicht. Dagegen leistet die Potenzformel ε = ασm für den rechteckigen Balken alles Gewünschte und gibt verhältnismässig kurz gebaute Formeln. Wir machen daher diese Formel zur Grundlage der nun folgenden Biegungsrechnungen. Die Gleichungen für den gebogenen Stab auf Grund von ε = ασm. Bezeichnungen: σ1 die Zugspannung im Abstand η1 von der Neutralachse, σ2  „   Druckspannung „       „      η2   „     „     „ ε1 und ε2 die entsprechenden Dehnungen, m1 der Exponent der Zugelastizität, m2   „         „         „   Druckelastizität, α1 und α2 die zugehörigen Elastizitätsfaktoren, c1 und c2 die Entfernungen der am weitesten entlegenen Zug- und Druckfasern von der NN-Achse, M das Biegungsmoment des beliebigen Querschnitts, df ein Flächenstreifen parallel der NN-Achse. Der Einfachheit der Formeln wegen wird ferner eingeführt k_1=\frac{1}{m_2}\ k_2=\frac{1}{m_2} a_1=\left(\frac{1}{\alpha_1}\right)^{k_1}\ a_2=\left(\frac{1}{\alpha_2}\right)^{k_2} entsprechend der reziproken Form σ = aεk des Dehnungsgesetzes. Gleichgewichtsbedingungen. 1. Kräfte längs der Balkenachse \int\limits_0^{e_1}\,\sigma_1\,\cdot\,d\,f=\int\limits_0^{e_2}\,\sigma_2\,\cdot\,d\,f . . . . . I) 2. Momente um die Neutralachse \int\limits_0^{e_1}\,\sigma_1\,d\,f\,\cdot\,\eta_1+\int\limits_0^{e_2}\,\sigma_2\,d\,f\,\cdot\,\eta_2=M . . . . . II) Unter der Voraussetzung ebenbleibender Querschnitte ist ferner \varepsilon_1=\frac{\eta_1}{q_1}\ \varepsilon_2=\frac{\eta_2}{q_1}, wo q1 der Krümmungsradius der durch die neutrale Schicht gehenden Längsfasern ist. Mit den Dehnungsgesetzen σ1 = a1 εk1 σ2 = a2 εk2 folgt hieraus \sigma_1=\frac{a_1}{q_1^{k_1}}\,\cdot\,\eta_1^{k_1}\ \sigma_2=\frac{a_2}{q_1^{k_2}}\,\cdot\,\eta_2^{k_2}. Damit wird aus I) \frac{a_2}{q_1^{k_2}}=\frac{a_1}{q_1^{k_1}}\,\cdot\,\frac{\int\limits_0^{e_1}\,\eta^{k_1}\,d\,f}{\int\limits_0^{e_2}\,\eta^{k_2}\,d\,f} . . . . . III) und aus Gleichung II) \frac{a_1}{q_1^{k_1}}\,\cdot\,\int\limits_0^{e_1}\,\eta^{k_1+1}\,d\,f+\frac{a_2}{q_1^{k_2}}\,\cdot\,\int\limits_0^{e_2}\,\eta^{k_2+1}\,d\,f=M . IV) Mit III) geht IV) über in \frac{a_1}{q_1^{k_1}}\,\cdot\,\int\limits_0^{e_1}\,\eta^{k_1+1}\,d\,f+\frac{a_1}{q_1^{k_1}}\,\cdot\,\frac{\int\limits_0^{e_1}\,\eta^{k_1}\,d\,f}{\int\limits_0^{e_2}\,\eta^{k_2}\,d\,f}\,\cdot\,\int\limits_0^{e_2}\,\eta^{k_2+1}\,d\,f=M. Zur Abkürzung wird gesetzt \int\limits_0^{e_1}\,\eta^{k_1}\,d\,f=\frakfamily{M}_1\ \int\limits_0^{e_2}\,\eta^{k_2}\,d\,f=\frakfamily{M}_2 \int\limits_0^{e_1}\,\eta^{k_1+1}\,d\,f=J_1\ \int\limits_0^{e_2}\,\eta^{k_2+1}\,d\,f=J_2 Dann wird J_1+\frac{\frakfamily{M}_1}{\frakfamily{M}_2}\,\cdot\,J_2=M\,\cdot\,\frac{q_1^{k_1}}{a_1} oder q_1=\left(\frac{a_1}{M}\,\cdot\,\left[J_1+\frac{\frakfamily{M}_1}{\frakfamily{M}_2}\,\cdot\,J_2\right]\right)^{\frac{1}{k_1}} . . V) und aus III) q_1=\left(\frac{\frakfamily{M}_2}{\frakfamily{M}_1}\,\cdot\,\frac{a_2}{a_1}\right)^{\frac{1}{k_2-k_1}} . . . . VI) Durch Gleichsetzen von V) und VI) J_1+\frac{\frakfamily{M}_1}{\frakfamily{M}_2}\,\cdot\,J_2=M\,\cdot\,\left(\frac{\frakfamily{M}_2}{\frakfamily{M}_1}\right)^{\frac{k_1}{k_2-k_1}}\,\cdot\,\left(\frac{a_2^{k_1}}{a_1^{k_1}}\right)^{\frac{1}{k_2-k_1}} VII) Diese Gleichung bestimmt die Lage der Neutralachse für ein gegebenes Moment oder umgekehrt. Mit Beachtung von V) ergibt sich auch die Spannung \sigma_{1\,max}=\frac{M}{J_1+\frac{\frakfamily{M}_1}{\frakfamily{M}_2}\,\cdot\,J_2}\,\cdot\,e_1^{k_1}. Setzt man noch J=J_1+\frac{\frakfamily{M}_1}{\frakfamily{M}_2}\,\cdot\,J_2, so wird die grösste Zugspannung \sigma_{1\,max}=\frac{M}{J}\,\cdot\,e_1^{k_1} . . . . VIII) und die grösste Druckspannung \sigma_{2\,max}=\frac{M}{J}\,\cdot\,\left(\frac{\frakfamily{M}_1}{\frakfamily{M}_2}\right)\,e_2^{k_2}. Diese Formeln sind genau wie die übliche Biegungsformel gebaut und gehen mit m1 = m2 = 1 und a1 = a2 direkt in diese über. Bevor wir zeigen, wie sich aus diesen noch ganz allgemeinen Gleichungen für beliebige Querschnitte die gesuchten Grössen ermitteln lassen, gehen wir zum Balken mit rechteckigem Querschnitt über. Der Balken mit rechteckigem Querschnitt. Man erhält mit b als Breite, h als Höhe des Querschnitts M_1=\frac{b}{k_1+1}\,\cdot\,e_1^{k_1+1}\ \ M_2=\frac{b}{k_2+1}\,\cdot\,e_2^{k_2+1} J_1=\frac{b}{k_1+2}\,\cdot\,e_1^{k_1+2}\ \ J_2=\frac{b}{k_2+2}\,\cdot\,e_2^{k_2+2}. Damit wird J=b\,\cdot\,\frac{e_1^{k_1+1}}{(k_1+2)\,(k_1+1)\,(k_2+2)} \cdot\,\{(k_1+1)\,(k_2+2)\,\cdot\,e_1+(k_2+1)\,(k_1+2)\,\cdot\,e_2\} Mit e_1=\frac{h}{2}+v=\frac{h}{2}\,\cdot\,\left(1+\frac{2\,v}{h}\right) e_2=\frac{h}{2}-v=\frac{h}{2}\,\cdot\,\left(1-\frac{2\,v}{h}\right) wird J=b\,\cdot\,\frac{\left(\frac{h}{2}\right)^{k_1+2}\,\cdot\,\left(1+\frac{2\,v}{h}\right)^{k_1+1}}{(k_1+2)\,(k_1+1)\,(k_2+2)} \cdot\,[(k_1+1)\,(k_2+2)+(k_2+1)\,\cdot\,(k_1+2)] \cdot\,\left\{1+\frac{2\,v}{h}\,\cdot\,\frac{k_1-k_2}{(k_1+1)\,(k_2+2)+(k_2+1)\,(k_1+2)}\right\}. Das zweite Glied der Klammer ist für die gewöhnlichen Werte von \frac{2\,v}{h}, k1 und k2 sehr klein gegen 1. So ist z.B. mit \frac{2\,v}{h}=0,1, d.h. 10 % Verschiebung der Neutralachse und k1 = 0,7, k2 = 0,9 sein Wert nur – 0,002. Bei gänzlicher Vernachlässigung wird J nur um 0,2 % zu klein; für kleinere Werte von v ist der Fehler noch unbedeutender. Wir lassen daher dieses Glied weg und setzen J=b\,\cdot\,\left(\frac{h}{2}\right)^{k_1+2}\,\left(1+\frac{2\,v}{h}\right)^{k_1+1} \cdot\,\frac{(k_1+1)\,(k_2+2)+(k_2+1)\,(k_1+2)}{(k_1+2)\,(k_1+1)\,(k_2+2)}. Mit diesem Wert wird die Bestimmungsgleichung VII) für v \frac{\left(1+\frac{2\,v}{h}\right)^{k_2\,(k_1+1)}}{\left(1-\frac{2\,v}{h}\right)^{k_1\,\cdot\,(k_2+1)}}=\left(\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{k_2-k_1}\,\cdot\,\frac{a_2^{k_1}}{a_1^{k_2}}\,\cdot\,\frac{(k_1+1)^{k_2}}{(k_2+1)k_1} 1) worin \psi=\frac{(k_1+1)\,(k_2+2)+(k_2+1)\,(k_1+2)}{(k_1+2)\,(k_2+2)} . . . 2) Gleichung 1) ist nach v nicht allgemein lösbar. Für die in Frage kommenden Werte von \frac{2\,v}{h}, k1 und k2 lässt sich aber eine sehr genaue allgemeine Näherungslösung angeben. Wird gesetzt \frac{\left(1+\frac{2\,v}{h}\right)^{k_2\,(k_1+1)}}{\left(1-\frac{2\,v}{h}\right)^{k_1\,(k_2+1)}}=\left(\frac{1+\frac{2\,v}{h}}{1-\frac{2\,v}{h}}\right)^k, so müsste, wenn vorübergehend \frac{2\,v}{h}=u gesetzt wird, ferner k2 . (k1 + 1) = k' und k1 . (k2 + 1) = k'' k=\frac{k'\,\cdot\,log\,(1+u)-k''\,log\,(1-u)}{log\,(1+u)-log\,(1-u)} . . . 3) sein. Werden für die Logarithmen die Reihen eingesetzt, die wir beim 3. Glied abbrachen, so ergibt sich k=\frac{k'+k''}{2}+(k''-k')\,\cdot\,\frac{u}{4\,\left(1+\frac{u^2}{3}\right)}. Für k1 = 0,7, k2 = 0,9, u = 0,1 wird nun k = 1,43 – 0,005. Man begeht daher nur einen Fehler von 0,4 %, wenn man k=\frac{k'+k''}{2}=\frac{1}{2}\,\cdot\,\{k_2\,\cdot\,(k_1+1)+k_1\,\cdot\,(k_2+1)\} 4) setzt. Hiermit ergibt die Gleichung 1) \frac{1+\frac{2\,v}{h}}{1-\frac{2\,v}{h}}=\left(\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_2-k_1}{k}}\,\cdot\,\left(\frac{a_2}{k_2+1}\right)^{\frac{k_1}{k}}\,\cdot\,\left(\frac{k_1+1}{a_1}\right)^{\frac{k_2}{k}}. Wird gesetzt \lambda=\left(\frac{a_2}{k_2+1}\right)^{\frac{k_1}{k}}\,\cdot\,\left(\frac{k_1+1}{a_1}\right)^{\frac{k_2}{k}} . . . 4) so folgt \frac{1+\frac{2\,v}{h}}{1-\frac{2\,v}{h}}=\lambda\,\cdot\,\left(\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_2-k_1}{k}} und hiermit \frac{2\,v}{h}=\frac{\lambda\,\cdot\,\left(\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_2-k_1}{k}}-1}{\lambda\,\cdot\,\left(\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_2-k_1}{k}}+1} . . . 5) Damit ist die Lage der Neutralachse für das Biegungsmoment M bestimmt. Leicht folgen jetzt die grössten Spannungen \sigma_{1\,max}=\frac{M}{\frac{b\,h^2}{4}}\,\cdot\,\frac{k_1+1}{\psi}\,\cdot\,\frac{1}{1+\frac{2\,v}{h}}, mit Gleichung 5) \sigma_{1\,max}=\frac{k_1+1}{2}\,\cdot\,\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\,\cdot\,\left[1+\frac{1}{\lambda}\,\cdot\,\left(\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_1-k_2}{k}}\right] 6) und die grösste Druckspannung \sigma_{2\,max}=\frac{k_2+1}{2}\,\cdot\,\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\,\cdot\,\left[1+\frac{1}{\lambda}\,\cdot\,\left(\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_2-k_1}{k}}\right] 7) Die Durchbiegung. Der Krümmungsradius der Balkenachse ist q = q1 + v. Man hat daher, wenn y die Durchbiegung eines beliebigen Punktes im Abstand x vom Einspannpunkt des am Ende durch P belasteten Freiträgers ist \frac{d^2\,y}{d\,x^2}=\frac{1}{q_1+v}=\,\sim\,\frac{1}{q_1}\,\cdot\,\left(1-\frac{v}{q_1}\right). Nun ist v unter allen Umständen sehr klein gegen q1 so dass wir \frac{d^2\,y}{d\,x^2}=\frac{1}{q_1} setzen. Hieraus ist durch zweimalige Integration y zu bestimmen. Aus VI) folgt mit \frac{\frakfamily{M}_2}{\frakfamily{M}_1}=\frac{k_1+1}{k_2+1}\,\cdot\,\left(\frac{h}{2}\right)^{k_2-k_1}\,\cdot\,\frac{\left(1-\frac{2\,v}{h}\right)^{k_2+1}}{\left(1+\frac{2\,v}{h}\right)^{k_1+1}} q_1=\frac{h}{2}\,\cdot\,\left(\frac{k_1+1}{k_2+1}\,\cdot\,\frac{a_2}{a_1}\right)^{\frac{1}{k_2-k_1}}\,\cdot\,\frac{\left(1-\frac{2\,v}{h}\right)^{\frac{k_3+1}{k_2-k_1}}}{\left(1+\frac{2\,v}{h}\right)^{\frac{k_1+1}{k_2-1}}} und mit 5) \left{{\frac{1}{q_1}=\frac{1}{h}\,\cdot\,\left(\frac{a_2}{a_1}\,\cdot\,\frac{k_1+1}{k_2+1}\right)^{\frac{1}{k_2-k_1}}\,\cdot\,\lambda^{\frac{k_2+1}{k_2-k_1}}}\atop{\cdot\,\left\{\left(\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_2+1}{k}}+\frac{1}{\lambda}\,\left(\frac{M}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_1+1}{k}}\right\}}}\right\}\ .\ 8) Das Biegungsmoment ist M = P . (l – x), wenn l die Balkenlänge, P die Biegungskraft am freien Ende ist. Setzen wir zur Vereinfachung noch \frac{1}{A}=\left(\frac{a_1}{a_2}\,\cdot\,\frac{k_2+1}{k_1+1}\right)^{\frac{1}{k_2-k_1}}\,\cdot\,\lambda^{\frac{k_2+1}{k_2-k_1}} . . . 9) so wird \left{{\frac{1}{q}=\frac{1}{A\,\cdot\,h}\,\cdot\,\left\{\left(\frac{P}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_2+1}{k}}\,\cdot\,(l-x)^{\frac{k_2+1}{k}}\right}\atop{\left+\frac{1}{\lambda}\,\cdot\,\left(\frac{P}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_1+1}{k}}\,\cdot\,(l-x)^{\frac{k_1+1}{k}}\right\}}}\right\} Wir setzen hierin p_1=\left(\frac{P}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_1+1}{k}}\ \ \ p_2=\left(\frac{P}{\psi\,\frac{b\,h^2}{4}}\right)^{\frac{k_2+1}{k}} 10) und ferner k_3=\frac{k_1+1}{k}\ \ k_4=\frac{k_2+1}{k} . . . 11) so wird die Differentialgleichung der Biegungslinie h\,\cdot\,A\,\cdot\,\frac{d^2\,y}{d\,x^2}=\frac{p_1}{\lambda}\,\cdot\,(l-x)^{k_3}+p_2\,\cdot\,(l-x)^{k_4} daher h\,\cdot\,A\,\cdot\,\frac{d\,y}{d\,x} =-\frac{p_1}{\lambda}\,\cdot\,\frac{1}{k_3+1}\,\cdot\,(l-x)^{k_3+1}-\frac{p_2}{k_4+1}\,\cdot\,(l-x)^{k_4+1}+C_1 und h\,\cdot\,A\,\cdot\,y=\frac{p_1}{\lambda}\,\cdot\,\frac{1}{(k_3+1)\,(k_3+2)}\,\cdot\,(l-x)^{k_3+2} +\frac{p_2}{(k_4+1)\,(k_4+2)}\,\cdot\,(l-x)^{k_4+2}+C_1\,x+C_2. Zur Bestimmung von C1 und C2 dienen die Bedingungen \frac{d\,y}{d\,x}=0 für x = 0 y = 0 für x = 0 und damit folgt C_1=\frac{p_1}{\lambda}\,\cdot\,\frac{1}{k_3+1}\,\cdot\,l^{k_3+1}+\frac{p_2}{k_4+1}\,\cdot\,l^{k_4+1} C_2=-\frac{p_1}{\lambda}\,\cdot\,\frac{1}{(k_3+1)\,(k_3+2)}\,\cdot\,l^{k_3+2}-\frac{p_2}{(k_4+1)\,(k_4+2)}\,\cdot\,l^{k_4+2}. Die Gleichung der Biegungskurve lautet also h\,\cdot\,A\,\cdot\,y=\frac{p_1}{\lambda}\,\cdot\,\frac{1}{(k_3+1)\,(k_3+2)}\,\cdot\,\{(l-x)^{k_3+2}-l^{k_3+2}\} +\frac{p_2}{(k_4+1)\,(k_4+2)}\,\cdot\,\{(l-x)^{k_4+2}-l^{k_4+2}\} +\left(\frac{p_1}{\lambda}\,\cdot\,\frac{1}{k_3+1}\,\cdot\,l^{k_3+1}+\frac{p_2}{k_4+1}\,\cdot\,l^{k_4+1}\right)\,\cdot\,x 12) Die grösste Durchbiegung am freien Ende des Balkens ist danach bestimmt aus h\,\cdot\,A\,\cdot\,y_{max}=\frac{p_1}{\lambda}\,\cdot\,\frac{1}{k_3+2}\,\cdot\,l^{k_3+2}+\frac{p_2}{k_4+2}\,\cdot\,l^{k_4+2} 13) Die Anwendung der Formeln. Bei kleinen Spannungen sind die meisten Baustoffe so elastisch, dass die bleibenden Formänderungen gegenüber den elastischen verschwinden. Unter stärkerer Belastung treten aber, besonders bei Gusseisen und Steinen, recht bald beträchtliche, bleibende Dehnungen dazu. Das Potenzgesetz gilt aber genau nur für den elastischen Teil der Deformationen. Die Annahme des Ebenbleibens der Querschnitte kann sich nur auf die gesamten Formänderungen beziehen. Für diese gilt, wie schon gesagt, das Potenzgesetz nicht. Will man es trotzdem bis in das Gebiet anwenden, wo schon bleibende Dehnungen von Einfluss sind, so muss man die Koeffizienten α und m so bestimmen, dass sich die Potenzlinie möglichst der Dehnungslinie anschliesst, ohne die äusserste Genauigkeit verlangen zu dürfen. Bei der Rolle, welche bei der Biegung gerade die kleinsten Dehnungen spielen, ist aber auf genügenden Anschluss der Kurven bei kleineren Spannungen ganz besonderes Augenmerk zu richten. Für grosse Spannungen smnd beide Bedingungen nicht zu vereinigen, was selbstverständlich ist, und zwar für jede andere Formel auch, die von vornherein für die elastischen und nicht für die gesamten Dehnungen aufgestellt ist. Im folgenden wird der Biegungsversuch aus C. Bach, Elastizität und Festigkeit, IV. Aufl. S. 242 ff., behandelt werden. Bei 3000 kg Mittenlast beträgt die Zugspannung nach der alten Berechnung schon 876,6 kg/qcm, für Gusseisen sehr viel. Wenn sich nun auch infolge des veränderlichen Dehnungskoeffizienten diese Spannung ermässigt, so wird sie doch über der technisch zulässigen liegen, und mit starken bleibenden Dehnungen verbunden sein. Weiter als bis zu dieser Last (der Bruch erfolgt bei 7000 kg) kann daher die Anwendung des Potenzgesetzes keinesfalls gehen. Die Formel 13) lässt sich alsdann an den drei Belastungsstufen 500 bis 1000 kg, 500 bis 2000 kg und 500 bis 3000 kg erproben. Die Koeffizienten der Zug- und Druckdehnung des Versuches von C. Bach. Zugversuch. Es wird gewählt m_1=1,435\ \ \alpha_1=\frac{1}{11110000}. Die folgende Zusammenstellung zeigt die Uebereinstimmung: Belastungsstufe inkg/cm Gesamte Verlängerungenin 1/1000 cm auf 10 cm Berechnet 159,15 und 318,3 2,14 2,21 159,15    „   477,5 4,99 4,99 159,15    „   636,6 8,83 8,20 Die Anfangsdehnung für die Stufe 0 bis 159,15? die nur geschätzt werden kann, ist hierbei zu 1,3 angenommen. Dieser Wert ist eher zu klein als zu gross, wonach sein Einfluss bei der Biegung zu ermessen ist. Der auffällig kleine Wert von α rührt von dem starken Einfluss der bleibenden Dehnungen auf den Exponenten m her. Druckversuch. Gewählt wurde m_2=1,1\ \ \alpha_2=\frac{1}{1520000}, womit sich folgende Uebereinstimmung ergibt: Belastungsstufe inkg/cm Gesamte Zusammen-drückung in 1/200 cm auf29,0 cm Berechnet 0,46–  298,4   2,13 2,13 0,46–  596,8   4,63 4,60 0,46–  895,2   7,20 7,21 0,46–1193,6 10,45 9,92 In Fig. 2 sind die Werte in gleichen Massstäben aufgetragen. Berechnung der Durchbiegung. Der Balken ist in der Mitte mit 2 P belastet und hat die Abmessungen: Breite b = 8,01 cm, Höhe h = 8,005 cm Länge zwischen den Lagern 2l = 100,0 cm. Aus den vorstehenden Dehnungskoeffizienten folgt: k 1 = 0,697 k2 = 0,901 k = 1,4267 k 3 = 1,1895 k4 = 1,3325 log a 1 = 4,91082 log a2 = 5,56992 log λ = 9,62856 – 10 ψ = 1,2845 log\,\frac{1}{A} = 3,54946 – 10. Textabbildung Bd. 317, S. 154 Fig. 2. Bemerkungen: Die eingeschriebenen Zahlen sind die Versuchswerte aus „C. Bach, Elastizität und Festigkeit, S. 243, IV. Aufl.“; Die ausgezogenen Linien geben die Versuchswerte; Die gestrichelten Linien zeigen die Rechnungswerte. Mit diesen Werten wird bei den Belastungen: 2P = 500 1000 2000 3000 kg ymax = 0,247 0,588 1,405 2,344 mm. Hierzu kommt die Durchsenkung infolge der Schubspannungen. Nach G. Bach, Elastizität und Festigkeit( IV. Auflage S. 453, ist das Verhältnis der beiden Einsenkungen 0,25\,\cdot\,\left(\frac{l}{h}\right)^2 zu 0,78, im vorliegenden Fall 39 zu 0,78. Die Schubkräfte vergrössern daher die Durchbiegung um etwa 2 %. Man erhält dann statt der obigen Werte: y = 0,247 + 0,005 = 0,252 0,588 + 0,012 = 0,600 1,405 + 0,028 = 1,433 2,344 + 0,047 = 2,391. Hiermit wird für die Belastungsstufen 500–1000 500–2000 500–3000 kg Die berechnete    Durchbiegung 0,348 1,181 2,139 mm Der Versuch ergab 0,355 1,227 2,226 mm ––––––––––––––––––––––––––––– Diff. – 0,007 – 0,046 – 0,087 in % 2 % 3,8 % 3,9 %. Die Werte sind in Fig. 2 aufgetragen. Die Abweichungen zwischen Versuch und Rechnung sind so gering und so verteilt, dass sie schon durch die Unvollkommenheit des Anschlusses der Dehnungskurven erklärt werden. Damit kann die Richtigkeit der im Eingang erwähnten zwei Annahmen, das Ebenbleiben der Querschnitte und das ganz gleichartige elastische Verhalten bei Biegung und bei Zug und Druck als erwiesen gelten. Die Anwendung auf Balken mit anderen Querschnitten muss für später vorbehalten werden. Es wird sich zeigen, dass unter Zuhilfenahme graphischer Integrationen die Theorie sich auf beliebige Querschnitte ausdehnen lässt, sofern es sich nur um Ermittelung der Spannungen handelt. Schlussbemerkung. Die üblichen Formeln zur Berechnung von Balken, die durch biegende Momente beansprucht sind, stützen sich auf das Gesetz der Proportionalität zwischen Spannungen und Dehnungen und sind nur für Schmiedeeisen und Stahl streng richtig. Bei der Berechnung von Gusseisen- und Steinquerschnitten war man bis heute auf mehr oder weniger genaue Schätzung der Spannungen angewiesen. Die bekannt gewordenen Formeln zur genaueren Berechnung leiden an zu grosser Umständlichkeit und stützen sich auf zum Teil unbewiesene Annahmen. Durch die obigen Formeln 6) und 7) lassen sich dagegen die Spannungen rechteckiger Querschnitte für beliebiges Balkenmaterial und jede Art von Biegungsbelastung aus dem Biegungsmoment berechnen, ohne dass vorherige Bestimmung der Neutralachse erforderlich ist. Der praktischen Anwendung dieser Formeln wird sobald nichts mehr im Wege stehen, als anerkannte Durchschnittswerte für die Elastizitätskonstanten der verschiedenen Stoffe eingeführt werden können. Mit Hilfe der Formel 13) kann ferner die Durchbiegung eines, rechteckigen durch eine Einzelkraft gebogenen Balkens berechnet werden, dessen Material nicht dem Proportionalitätsgesetze folgt. Dies war bis jetzt überhaupt nicht möglich. Die sehr gute Uebereinstimmung der Formel 13) mit dem Biegungsversuch von C. Bach ist endlich einerseits ein Beweis für die Richtigkeit der obigen Theorie, aber auch, was von grösster Wichtigkeit ist, eine Bestätigung dafür, dass die Annahmen des Ebenbleibens der Querschnitte und der Gleichartigkeit der Elastizität im gebogenen, gezogenen und gedrückten Stab für Gusseisen ebenso zutreffen, wie bei Schmiedeeisen und Stahl. Erst auf dieser Grundlage ist der weitere Ausbau einer allgemeinen Biegungstheorie möglich und die praktische Verwendbarkeit einer solchen gesichert. Biegungsversuche, welche die gleiche Prüfung auch für andere Materialien ermöglichten, wären von grösstem Wert. Die Erörterungen über das Potenzgesetz waren nötig, weil der mathematische Ausdruck des Dehnungsgesetzes für Form und Inhalt der ganzen Biegungstheorie bestimmend ist.