Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit des zufließenden Arbeitswassers. Von Dipl.-Ing. A. Utard, Straßburg i.E. (Fortsetzung von S. 460 d. Bd.) Die bei der Turbinenregulierung auftretenden sekundären Erscheinungen, bedingt durch die Massenträgheit usw. b. Der Schließvorgang. Alliévi hat nun die verschiedensten Verhältnisse des Schließvorganges ausführlich durchdiskutiert. Er kommt zum Resultat, daß bei völligem Schluß stets starke Oscillationen von der Periode \frac{2\,L}{i}Unter Periode ist hier verstanden die Zeit, die verfließt zwischen einem Maximum und dem darauf folgenden Minimum der auf das Rohrende bezogenen H-Kurve oder umgekehrt. entstehen. Diese Schwingungen bewegen sich zickzackförmig zwischen H(b = 0), d.h. dem Endwert der Druckkurve als Maximum und dem Werte: H = 2H – H(b = 0) . . . . . . . . . . (59) als Minimum der Druckkurve, entfernen sich also nach beiden Richtungen gleich weit von der erstrebten Endlage, nämlich H0. Es ist leicht einzusehen, daß dies so sein muß, denn bei Vernachlässigung der Reibung und bei Annahme vollkommener Elastizität muß bei ganz geschlossener Turbine die Wassersäule sich wie jeder andere um die Ruhelage schwingende Körper verhalten, der nach beiden Seiten gleiche Beschleunigungen erfährt. Das durch Gl. (59) ausgedrückte Minimum kann nun soweit herabsinken, daß am Ausströmende sogar Unterdruck entsteht, und somit die Leitung gefährdet ist. Dies muß selbstredend eintreten, sobald in Gl. (59) der Wert von H gleich oder kleiner als Null ist. Dann geht die Gl. (59) über in: H(b = 0) ≧ 2H0 . . . . . . . . . . (60) Den Wert von H(b = 0) erhalten wir, sobald wir in Gl. (56) die Enderöffnung b gleich Null werden lassen. Es ist dann: H_{(b = 0)}=\frakfamily{H}-2\,\varphi_1 . . . . . . . . . . (61) Somit lautet die Bedingung, damit Unterdruck oder Nulldruck am unteren Rohrende auftrete (mit Rücksicht auf Gl. (60)): \frakfamily{H}-2\,\varphi_1\,\geq\,2\,H_0 . . . . . . . . . . (62) oder mit Berücksichtigung der Größe \frakfamily{H} nach Gl. (49): \frac{i \cdot ac_1}{g}-H_0\,>\,2\,\varphi_1 . . . . . . (63) Hierin ist ϕ, gleich der im letzten Augenblick des Schließens, also bei b = 0 auftretenden Druckrückwirkung. Da aber ϕ1 ein ganz allgemeiner Ausdruck ist, so sagt Gl. (63) vorläufig nur wenig aus; solange nämlich der in Betracht kommende ungünstigste Wert von ϕ1 und von a . ci nicht ermittelt ist. Auf Seite 30 seiner Arbeit gibt Alliévi als Bedingung zur Verhütung dieses gefährlichen Unterdruckes an: T\,\>,\frac{\sqrt{2}}{g} \cdot \frac{L \cdot ac_1}{H_0} . . . . . . (64) oder: T\,>\,0,144 \cdot \frac{L \cdot ac_1}{H_0} . . . (64a) Dieses ist jedoch, wie wir später sehen werden, keineswegs eine genügende Garantie, um dem Unterdruck vorzubeugen, da die Voraussetzung, von der er zur Ermittelung dieses Wertes ausgeht, nicht zutrifft. Wird die Turbine nicht ganz bis auf b = 0 geschlossen, so können verschiedene Fälle eintreten: Sobald \frac{ibc_1}{v_0}\,>\,\frac{v_0+v}{2}\,>\,v_0 oder was dasselbe heißt: bc_1\,>\,\frac{g\,H_0+g\,\sqrt{H \cdot H_0}}{i}\,>\,\frac{2\,g\,H_0}{i} . . . (65) haben wir ähnlich wie bei Pfarr eine asymptotische Näherung an den Endzustand (s. Alliévi S. 22). Wenn aber \frac{v_0-v}{2}\,>\,v_0\,>\,\frac{i\,b\,c_1}{v_0} oder was dasselbe heißt; \frac{g\,H_0+g\,\sqrt{H \cdot H_0}}{i}\,>\,\frac{2\,g\,h_0}{i}\,>\,bc_1 . . (66) dann treten dauernde Schwingungen auf. Ist aber \frac{v_0+v}{2}\,>\,\frac{i\,b\,c_1}{v_0}\,>\,v_0 oder was dasselbe heißt \frac{g\,H_0+g\,\sqrt{H \cdot H_0}}{i}\,>\,b\,c_1\,>\,\frac{2\,g\,H_0}{i} . . (67) so erfolgt nach einer einmaligen Schwingung eine asymptotische Näherung an H0. Ein klares Bild des Schließvorganges nach Alliévi gibt uns Fig. 13, dem dasselbe Beispiel zugrunde liegt wie dasjenige, welches in Fig. 3 nach der Pfarr'schen Methode graphisch dargestellt ist. Doch wird erst weiter unten auf diese Schließkurven sowohl, wie auf die Oeffnungskurven, die in Fig. 14 aufgezeichnet sind, im Einzelnen eingegangen werden. c. Der Oeffnungsvorgang. Ganz analog zum Schließvorgang läßt sich die Betrachtung des Oeffnungsvorganges durchführen, die allgemeinen Gleichungen (56) und (58) sind auch hier in Geltung, und diese hätte Alliévi auch wohl am besten beibehalten sollen, statt dieselben auf den speziellen Fall des Oeffnens von c = 0, also a = 0 aus zuzuschneiden. Allerdings tritt in diesem Falle die größte Druckverminderung ein und zwar nach t=\frac{2\,L}{i} Sek. Diese ist charakterisiert durch die Gleichung: {H^2}_{\mbox{min}}-2\,H_{\mbox{min}}\,\left(H_0+2\,\frac{c_1^2\,L^2}{g^2\,T^2\,H_0}\right)+H_0^2=0 . (68) oder: s2 – 2s(1 + 2m2) + 1 = 0 . . . . . . . . . . (68a) worin S\,\equiv\,\frac{H_{\mbox{min}}}{H_0}\frac{}{}. Diese Gleichung ist eine Umformung von der Alliévischen Gleichung No. (43) und wird erhalten, indem man in Gl. (58) den Wert b=\frac{2\,L}{i\,T} einsetzt und ferner berücksichtigt, daß nach Gl. (49) für diesen Spezialfall \frakfamily{H}=H_0, weil ca ≡ a . c1 = 0. Auch hier nähert sich wie beim Schließvorgang die H-Kurve mehr oder weniger schnell der Kurve für ideelle Verhältnisse, deren Minimum bestimmt ist, durch den kleineren Wurzelwert von: H^2-H\,\left(2\,H_0+\frac{c_1^2\,L^2}{g^2\,T^2\,H_0}\right)+1=0 (vgl. Gl. (73) u. (74). Bei Unterbrechung des Schließens kann ebenfalls ein Oscillieren mit der Periode =\frac{2\,L}{i} stattfinden, sobald nämlich: ib\,\frac{f_1}{F}\,<,v_0 . . . . . . . . . . (69) Auf Grund von Gl. (7) läßt sich diese auch schreiben: \frac{i \cdot bc_1}{v_0}\,<\,v_0 also dieselbe Bedingung wie beim Schließvorgang (vergl. Gl. (66)). Setze den Wert von v0 ein: bc_1\,<\,\frac{2\,g\,H_0}{i} . . . . . (70) Der hierdurch bedingte Rückstoß in der nächsten Periode kann ein starkes Ueberschreiten von H0 zur Folge haben und zwar schlimmstenfalls ist: Hmax = 1,228H0 oder: zmax = 1,228, wie eine Untersuchung von Alliévi dieses beweist. Viel schlimmer gestalten sich die Verhältnisse dann, wenn auf das Oeffnen von der Beaufschlagung a = 0 aus bis zu bestimmtem b ein sofortiges Rückschließen auf Null stattfindet. Es kann als Folge hiervon die durch Gl. (74) und selbst Gl. (76) (s. unten) angegebene Druckhöhe ganz wesentlich überschritten werden. Alliévi weist dieses durch Berechnen eines Beispiels nach. Die im nächsten Teile durchgeführten Betrachtungen werden uns auch die analytische Behandlung dieser Verhältnisse ermöglichen. 2. Diskussion und Weiterentwicklung der Methode von Alliévi. a. Ermittlung des größten auftretenden Ueberdruckes beim Schließvorgang. Aeußerst überraschend sind die Ergebnisse, die Alliévi in den Entwicklungen seiner §§ 10 u. 11 erhält. Im § 10 sucht er die Bedingung dafür, daß Φ- und somit auch die ϕ-Kurve linear ansteigt, und er glaubt, allerdings irrtümlicherweise als Bedingung das lineare Schließen gefunden zu haben. Was er mit dieser Untersuchung bezweckt, liegt auf der Hand: Sobald 0 linear ist, wird die H-Kurve entsprechend Φ ansteigen bis zu t=\frac{2\,L}{i} Sek.; von da ab hätten wir aber eine strikte Horizontale, insofern in Gl. (50) H – H0 = Φ – ϕ = konstant wäre. Da man aber bei konstantem H und linearem Φ setzen kann: \frac{d\,H}{d\,t}=0 . . . . . . . . . . (71) und \frac{d^2\,\Phi}{d\,t^2}=0 . . . . . . . . . . (72) so erhält Alliévi durch Differentierung früherer Gleichungen die Formel: {H^2}_{\mbox{max}}-H_{\mbox{max}}\,\left(2\,H_0+\frac{c_1^2\,L^2}{g^2\,T^2 \cdot H_0^2}\right)+1=0 . (73) oder: z2– z . (2 + m2) + 1 = 0 . . . . . . . . . . (73a) wobei: z=\frac{H_{\mbox{max}}}{H_0} und m=\frac{L \cdot c_1}{g \cdot T\,H_0} Nach z aufgelöst lautet dieselbe: z=1+\frac{m^2}{2}+m\,\sqrt{1+\frac{m^2}{4}} . . . (74a) oder: H=H_0+\frac{c_1^2\,L^2}{2\,g^2\,H_0\,T^2}+\frac{c_1\,L}{g \cdot T}\,\sqrt{1+\frac{c_1^2\,L^2}{4\,g^2\,H_0^2\,T^2}} . (74) Vergleichen wir hiermit das Resultat der korrespondierenden Pfarrschen Gleichungen (13) u. (6a): Nach Gleichung (13) ist: v_{\mbox{max}}=v_0 \cdot \frac{m}{2}\,\left(\sqrt{\frac{4}{m^2}+1}+1\right) Somit lautet nach Gl. (6a): h_{\mbox{max}}=\frac{{v^2}_{\mbox{max}}}{2\,g}=H_0\,\left(\sqrt{\frac{m^2}{4}+1}+\frac{m}{2}\right)^2 oder: z_{\mbox{max}}\,\equiv\,\frac{h_{\mbox{max}}}{H_0}=1+\frac{m^2}{2}+m\,\sqrt{1+\frac{m^2}{4}} also derselbe Ausdruck wie Gl. (74a). Diese Uebereinstimmung ist um so überraschender, als die Wege, auf denen beide Autoren zu diesem Ergebnis gelangten, völlig verschiedene sind. Leider ist aber, wie schon oben angedeutet, der Ausgangspunkt, von dem Alliévi zu diesem Ergebnis gelangte, nicht zutreffend. Alliévi will beweisen, daß bei linearem Schließen auch der Verlauf der Φ-Kurve ein linearer ist. In Wirklichkeit besagt sein Gedankengang nur soviel, daß, wenn \frac{d\,\Psi}{dt}= konstant, d.h. bei linear zunehmenden Φ, auch die Schließkurve eine Gerade ist. Dabei braucht aber sicherlich das Umgekehrte nicht der Fall zu sein, wie er es annimmt. Der lineare Verlauf von Φ ist nämlich keine notwendige Konsequenz einer linearen f-Kurve, sondern letzteres ist nur Vorbedingung zu ersterem. In der Tat zeigen die Druckkurven der Kurvenauftragungen Fig. 13 in der zweiten Phase einen von der Horizontalen zum Teil stark abweichenden Verlauf. Allerdings muß es im ganzen Wesen der Kurven liegen, daß sich dieselben den ideellen Kurven nach jeder Periode von t=\frac{2\,L}{i} Sek. mehr und mehr anzuschmiegen suchen, so daß bei großen Schlußzeiten sich beide Kurvenarten fast decken. Bei kleinen Schlußzeiten und beim Schließen von kleinen Teilfüllungen a aus spielt jedoch die Elastizität gewaltig mit und ändert völlig den Charakter der ideellen Kurven. Es ist somit nicht zutreffend, wenn Alliévi das Resultat von Gl. (74) als Hmax anschaut. Den ungünstigsten Fall, d.h. die größte Druckerhöhung haben wir dann zu gewärtigen, wenn die zum völligen Schließen nötige Zeit gleich ist: a\,T=\frac{2\,L}{i}\mbox{ Sek.} . . . . . . . . . . (75) In diesem Falle hat die Zeit, die nötig ist, um von der Beaufschlagung a aus den Leitapparat völlig zu schließen, genau den Betrag einer Druckperiode; d.h. gerade beim Eintritt des Gegenstoßes ϕ hat die Turbine ganz abgeschlossen, so daß während der ganzen Schließperiode die Rückwelle cp keine Zeit hatte, um ihren druckmildernden Einfluß geltend zu machen. Wir haben somit bei b = 0 nach Gl. (58) die ganze Höhe \frakfamily{H} zu verzeichnen, also: H=\frakfamily{H}=H_0+\frac{i \cdot ac_1}{g} (vergl. Gl. (49). Bei noch kleinerem a als oben angegeben, fällt dieser Rückstoß auch weg, aber die Größe von \frakfamily{H} ist, des ebenfalls verminderten ac1 wegen, kleiner geworden. Dagegen kann bei größerer Anfangsbeaufschlagung als der oben angegebenen der Druck zu Ende der direkten Druckperiode deshalb nicht mehr dieselbe Höhe erreichen, weil vor Eintritt der Rückwelle die Leitschaufel nur einen prozentuell viel geringeren Teil der Austrittsöffnung schließen konnte. Um einen allgemeinen Ausdruck für diese ungünstigsten Verhältnisse zu erhalten, setzen wir in der Gleichung (49) \frakfamily{H}=H max. den Wert des in Frage kommenden a ein, nämlich: a=\frac{2\,L}{i\,T} . . . (siehe Gl. 75) Wir erhalten: H\,\mbox{max}=H_0+\frac{i}{g} \cdot ac_1=H_0\,\frac{i}{g} \cdot a\,c_1=H_0\,\frac{i}{g} \cdot \frac{2\,L\,c_1}{i\,T}=H_0+\frac{2\,L \cdot c_1}{g \cdot T} (76) oder: z\,\mbox{max}=\frac{H\,\mbox{max}}{H_0}=1+2\,m . . . (76a) Auffallend ist die Aehnlichkeit mit der von Budau aufgestelten Formel (5a), welche lautet: z=1+\frac{2}{3}\,m; doch ist hier die Analogie direkt Zufall, da Budau für den Verlauf seiner Kurve nur eine, allerdings ziemlich glückliche Annahme getroffen hat. Noch glücklicher wäre die Beibehaltung des zweiten von ihm berücksichtigten Falles, nämlich einer linearen Druckzunahme, gewesen, welche sogar denselben Endwert: z = 1 + 2 m ergibt. Dieser Wert wäre aber nicht wie bei Berücksichtigung der Elastizität nur für das ganz bestimmte a=\frac{2\,L}{i\,T} in Geltung. Ganz allgemein für alle Anfangsfüllungen strebten die H-Kurven diesem Endwerte in linearem Verlaufe zu, was jedoch der Wirklichkeit nicht entspricht. Zur Berechnung von Hmax haben wir also 2 Fälle zu unterscheiden: 1) a\,T\,>\,\frac{2\,L}{i} . . . . . . . . . . (77) dann ist der größte auftretende Druck durch Gl. (76) bezw. 76a bestimmt, nämlich: H\,\mbox{max}=H_0+\frac{2\,c_1\,L}{g \cdot T} oder zmax  1 + 2 m und 2) a\,T\,<\,\frac{2\,L}{i} . . . . . . . . . . (78) dann ist nach Gl. (49) dasselbe Hmax vorhanden, wie bei momentanem Schluß, nämlich: H\,\mbox{max}=\frakfamily{H}=H_0+\frac{i\,a\,c_1}{g} oder z\,\mbox{max}=1+\frac{i \cdot a\,c_1}{H_0 \cdot g} In dieser letzten Formel ist L nicht enthalten, spielt also keine Rolle, was die Größe des Ueberdruckes anbetrifft. Allerdings insofern macht sich die Rohrlänge L doch bemerkbar, als wir dann keine lineare Abnahme des maximalen Ueberdruckes [Hmax – H0] nach dem oberen Teile des Rohres hin mehr haben. Die Druckrückwirkung reicht nämlich statt für L bloß für eine Strecke λ aus, die entsprechend Gl. (75) bestimmt ist durch: \lambda=\frac{1}{2}\,i\,a\,T; es muß somit der ganze Betrag des maximalen Ueberdruckes auf einer Rohrlänge auftreten, die gleich ist: (vergl. Alliévi S. 31) (L-\lambda)=L-\frac{1}{2}\,i\,a\,T . . . (79) Textabbildung Bd. 324, S. 476 Fig. 15. Je größer L, umso größer das Rohrstück, das für den Gesamtdruck zu berechnen ist. In Fig. 15, bei der das Zuleitungsrohr L horizental umgelegt ist, sind die maximalen [H – H0] als Ordinaten an der betreffenden Stelle der Rohrleitung aufgetragen. Die Mündung ist auf der rechten Seite, also die Fließrichtung von links nach rechts gehend gedacht. Textabbildung Bd. 324, S. 476 Fig. 16. Für den ersten der soeben betrachteten Fälle (s. Gl. (76)) kommt die Größe i nicht in Betracht. Wir haben uns dieses so zu denken: Bei zunehmendem i nimmt die Größe \frac{2\,L}{i} ab, das entsprechende \frakfamily{H}=H_0+\frac{i\,a\,c_1}{g}, welches nach Gl. (58) für die Höhe von H mitbestimmend ist, nimmt aber in demselben Maße zu. Der Verlauf dieser jeweils ungünstigsten, d.h. am höchsten ansteigenden Druckkurven ist für verschiedene i Werte durch Fig. 16 angedeutet. Wie ersichtlich, gehen sie von verschiedenen a aus, gelangen aber zum selben Hmax. Entsprechend dem im Obigen (s. Gl. (76)) ermittelten größeren Hmax gegenüber dem von Alliévi berechneten (s. Gl. (74)) müssen sich auch die Größen der bei den Schwankungen auftretenden Druckerniedrigungen ändern. Zur Verhinderung eines Unterdruckes muß sein laut Gl. (62): \frakfamily{H}-2\,\varphi\,<\,2\,\mbox{H0} und zwar ist hierin: (\frakfamily{H}-2\,\varphi) gleichzusetzen dem größten bei b = 0 auftretenden Druck. Dieser ist dann zu gewärtigen, wenn die Anfangsbeaufschlagung a gleich ist \frac{2\,L}{i\,T}, somit ϕ = 0 und H\,\mbox{max}=\frakfamily{H} ist. Auch hier gilt die Bedingung: \frakfamily{H}(=H\,\mbox{max})\,<\,2\mbox{H0} . . . . . . . . . . (80) oder: zmax < 2 . . . . . . . . . . (80a) Nun ist nach Gl. (76a): zmax = 1 + 2 m somit durch Einsetzen dieses Wertes in Gl. (80a) erhalten wir: m\,\left(\equiv\,\frac{c_1\,L}{g \cdot H_0\,T}\right)\,<\,\frac{1}{2} . . . . . . . . . . (81) oder: \frac{L}{H_0}\,<\,\frac{g \cdot T}{2\,c_1} . . . . . . . . . . (82) oder auch: T\,>\,\frac{2\,L \cdot c_1}{g \cdot H_0} T\,>\,0,20387\,\frac{L\,c_1}{H_0} . . . . . . . . . . (83) anstatt des von Alliévi berechneten Wertes (s. Gl. (64a)). Von da ab, d.h. sobald m\,>\,\frac{1}{2}, wären Störungen im unteren Teil des Rohres, wenn nicht gar Zerstörung desselben, zu befürchten. (Fortsetzung folgt.)