Die Spiralseile. Von P. Stephan, Dortmund. Die Spiralseile. Als Spiralseile bezeichnet man gemäß dem Sprachgebrauch des gewöhnlichen Lebens die Drahtseile, die aus einer Anzahl von Drähten bestehen, deren jeder eine einfache Schraubenlinie bildet. Nur der innerste Draht ist gerade, darüber legen sich fast durchweg sechs Drähte nebeneinander, hierüber kommt eine zweite Lage von gewöhnlich 12 Drähten, deren Drall jedoch entgegengesetzt zu dem der ersten verläuft, und so je nach der Art des Seiles weiter mit nach außen steigender Drahtzahl. Das Verhalten des Spiralseiles unter einer in seiner Achse wirkenden Last ist nun ein recht verwickeltes und bei stärkeren Seilen vorläufig wenigstens, aus unten erörterten Gründen nicht mehr mit voller Sicherheit zu verfolgen. Aus dem Grunde hat man z.B. bei dem Bau der ersten New Yorker Hängebrücke über den East-River die Tragseile ohne jede Verseilung aus lauter parallel liegenden Drähten zusammengesetzt, die durch schellenartige Bänder zusammengehalten werden. In auseinandergezogenem Zustande könnte man das Seil schematisch etwa durch die Fig. 1 darstellen. Es bezeichnet im folgenden Q die Gesamtlast in kg, P=\frac{Q}{m} den Anteil derselben, der auf einen bestimmten Draht entfällt, in kg, l die Länge des Seilstückes in cm; r den mittleren Halbmesser der Schraubenlinie in cm, h ihre Ganghöhe in cm, ϕ den fortschreitenden Winkel, der für die volle Steigung h den Wert 2π hat und für die ganze Länge l den Betrag i . 2π erreicht, worin i ein unechter Bruch ist, α den Steigungswinkel, der sich berechnet aus \mbox{tg}\,\alpha=\frac{h}{2\,\pi\,r} ds=\frac{r}{cos\,\alpha}\,d\,\varphi ein Kurvenelement der Schraubenlinie von der senkrecht zur Achse verlaufenden Hauptkrümmung \frac{1}{\rho}=\frac{\mbox{cos}^2\,\alpha}{r}, F den Querschnitt des Drahtes in qcm, Ra die auf die Außenseite des Drahtes von der darüberliegenden Lage ausgeübte Druckkraft in kg/cm, Ri die auf die Innenseite des Drahtes von der darunterliegenden Lage ausgeübte Druckkraft in kg/cm, (Für zwei benachbarte Drahtlagen 1 u. 2 gilt also Ra1 = Ri2.) E = 2150000 kg/qcm die Elastizitätsziffer des Drahtmaterials, G = 0,385 E kg/qcm den Gleitmodul des Drahtmaterials. e den Abstand des Schwerpunktes von F von der äußersten Faser des Querschnittes, in cm. Jx das Trägheitsmoment von F in bezug auf die zu r senkrecht stehende Schwerachse in cm4, Jy das Trägheitsmoment von F in bezug auf die zur x-Achse senkrechte Schwerachse, in cm4. Die zur Richtung von ds parallele Seitenkraft P sin α bewirkt nun eine Verlängerung des Elementes um den Betrag \delta\,d\,s=\frac{P\,\mbox{sin}\,\alpha}{E\,F}\,d\,s und liefert ein Biegungsmoment Mb= P sin α . r, das das Element ds streckt, so daß seine Krümmung übergeht in \frac{1}{\rho_1}=\frac{1}{\rho}-\frac{P\,r\,\mbox{sin}\,\alpha}{E\,F\,\kappa\,\rho^2} Da ρ im Verhältnis zur Drahtstärke immer ziemlich groß ist, so läßt sich setzen \kappa\,\rho^2\,\sim\,i^2=\frac{e^2}{\zeta_1}, Textabbildung Bd. 324, S. 753 Fig. 1. worin i der Trägheitsradius des Querschnittes in bezug auf die x-Achse ist und ζ1 ein Zahlenwert, der beträgt für den ○ Querschnitt ζ1 = 4, „ „ untersuchten „ ζ1 = 2,55, „ „ „ „ ζ1 ∾ 2,2, „ „ „ „ ζ1 ∾ 1,7. Infolge der Verlängerung des Elementes tritt eine Senkung in Richtung von P ein um den Betrag d\,\lambda_1=\delta\,d\,s \cdot \mbox{sin}\,\alpha=\frac{P\,\mbox{sin}^2\,\alpha}{E\,F}\,d\,s. Die Schiefstellung des Endquerschnittes von ds um den Betrag dψ – dψ1, der durch den Zusammenhang ds = ρdψ = ρ1dψ1 übergeht in d\,s\,\left(\frac{1}{\rho}-\frac{1}{\rho_1}\right), bewirkt, daß sich ein auf der Seilachse befindlicher, damit fest verbundener Punkt senkt um d\,\lambda_2=r\,d\,s\,\left(\frac{1}{\rho}-\frac{1}{\rho_1}\right)\,\mbox{sin}\,\alpha=\frac{P\,r^2\,\mbox{sin}^2\,\alpha\,\zeta_1}{E\,F\,e^2}\,d\,s Die andere Seitenkraft P cos α, die in den Querschnitt F fällt, ruft die Senkung hervor d\,\lambda_3=\frac{P\,\mbox{cos}^2\,\alpha}{G\,F}\,d\,s; und das Moment P cos α . r bewirkt eine Verdrehung der beiden Endquerschnitte von ds um den Betrag d\,\vartheta=\frac{P\,r\,\mbox{cos}\,\alpha}{G} \cdot \frac{\zeta_2}{4}\,\frac{J_p}{J_x \cdot J_y}\,ds, worin nach den Bachschen Versuchen zu setzen ist beim Kreisquerschnitt ζ1 = 1, beim Rechteck und rechteckähnlichen Querschnitten ζ2 ∾ 1,2; für den Z-Querschnitt wird schätzungsweise ζ2 ∾ 1,5 angenommen. Ein mit dem Endquerschnitt fest verbundener Punkt der Seilachse senkt sich demnach um d\,\lambda_4=r\,d\,\vartheta \cdot \mbox{cos}\,\alpha=\frac{P\,r^2\,\mbox{cos}^2\,\alpha}{G\,J_x} \cdot \frac{\zeta_2}{4}\,\left(1+\frac{J_x}{J_y}\right)\,ds. Vernachlässigt wird der Einfluß der sicher nicht großen Kraft (Ra – Ri) ds, die auf eine Aenderung von ρ hinwirkt. Dagegen darf die Reibung μ (Ra + Ri) ds, die der Verschiebung des Drahtes entgegenwirkt, nicht außer acht gelassen werden. Wird sie berücksichtigt, so folgt die Gesamtverlängerung der freien Schraubenlinie mit ds=\frac{r}{\mbox{cos}\,\alpha}\,d\,\varphi zu d\,\lambda=\frac{P\,r\,d\,\varphi}{E\,F\,\mbox{cos}\,\alpha} \cdot \left\{\mbox{sin}^2\,\alpha-\mbox{sin}\,\alpha \cdot \mu\,\frac{R_a+R_i}{P}\right       +\,2,6\,\mbox{cos}^2\,\alpha-\mbox{cos}\,\alpha \cdot \mu\,\frac{R_a+R_i}{P}       +\,\mbox{sin}^2\,\alpha\,\zeta_1\,\frac{r^2}{e^2}+\mbox{cos}^2\,\alpha\,\frac{\zeta1\,\zeta_2}{4}\,\left(1+\frac{J_x}{J_y}\right) \cdot 2,6\,\frac{r^2}{e^2}       \left\mbox{sin}\,\alpha\,\zeta_1\,\frac{r^2}{e^2}\,\mu\,\left(\frac{R_a+R_i}{P}-\mbox{cos}\,\alpha\,\frac{\zeta_1\,\zeta_2}{4}\,\left(1+\frac{J_x}{J_y}\right)\right\,2,6\,\frac{r}{e}\,\mu \cdot \frac{R_a+R_1}{P}\right\} Die Integration über die ganze Länge l = ih liefert dann \lambda=\frac{Pl}{E\,F}\,\left\{\underset{1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3}{\mbox{sin}\,\alpha+2,6\,\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{tg}\,\alpha}}+{\zeta_1\,\frac{r^2}{e^2}\,\left[\underset{2}{\mbox{sin}}\,\alpha\right\right       \left+\,2,6\,\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{tg}\,\alpha}\,\underset{4}{\frac{\zeta_2}{4}}\,\left(1+\frac{J_x}{J_y}\right)\right]-\mu\,\frac{R_a+R_i}{P}\,\left[\underset{1}{1}\right       \left\left+\,\underset{3}{\frac{2,6}{\mbox{tg}\,\alpha}}+\zeta_1\,\frac{r}{e}\,\left(\underset{2}{1}+\frac{2,6}{\mbox{tg}\,\alpha} \cdot \underset{4}{\frac{\zeta_2}{4}}\,\left(1+\frac{J_x}{J_y}\right)\right)\right]\right\}. Die beigesetzten Zahlen deuten die Herkunft der einzelnen Glieder an: 1 durch die Zugbeanspruchung, 2 „ „ Biegungsbeanspruchung, 3 „ „ Schubbeanspruchung, 4 „ „ Verdrehungsbeanspruchung. Die vorstehende Formel gilt für einen einzelnen Draht. Im Seil liegt jedoch eine ganze Anzahl von Drähten dicht nebeneinander, und ferner sind mehrere Lagen übereinander angeordnet. Am nächsten kommt den in der Rechnung vorausgesetzten Verhältnissen noch das Simplexseil nach Fig. 2, das früher mehrfach verwendet wurde. Dabei fallen die Kräfte Ra fort, nicht aber auch die Ri, die vielmehr durch den keilartigen Seitendruck, den die Drähte aufeinander ausüben, ersetzt werden. Denn gleichzeitig mit der Verlängerung der Schraubenlinie in Richtung ihrer Achse tritt noch eine recht bedeutende Zusammenziehung in Richtung des Durchmessers ein, die von der durch die beiden Momente 2 und 4 bewirkten Verlängerung der Schraubenlinie bei gleich bleibender Drahtlänge herrührt, so daß die Drähte sich fest ineinander drücken. Obwohl nun die Zusammenziehung des Seils bald durch den gegenseitigen Widerstand der Drähte aufhört, ist sie entschieden viel größer als bei den Seilen mit vollem Kern, und die entstehende Biegungsspannung wird jedenfalls eine sehr bedeutende, der die an der höchstbeanspruchten Innenseite nur messerrückenstarken Drähte von nur 2,4–2,6 mm Breite nicht mehr standhalten können, sobald noch weitere, durch Querkräfte – auf dem Seil verkehrende Lasten – erzeugte Biegungsspannungen und zwar, wie sich weiter unten zeigen wird, recht erhebliche, dazu kommen. Die Seile wurden so häufig von innen heraus durch Einreißen der schmalen Rücken zerstört und werden deshalb jetzt nicht mehr verwendet, weswegen auch hier von einer eingehenden Untersuchung abgesehen wurde. Textabbildung Bd. 324, S. 754 Fig. 2. Bei einem vollen Seil der üblichen Ausführung ist die Durchmesserverringerung der „Spiralen“ jedenfalls eine sehr geringe. Denn da die Drähte von vornherein mit einem gewissen Druck aufeinander gewickelt werden, so können ihre Windungen sich unter einer achsialen Belastung des Seiles nur um so viel zusammenziehen, wie ihr Durchmesser 2e und der der darunterliegenden Drähte infolge der gleichzeitig mit der Normalbeanspruchung auftretenden Querkontraktion des Drahtes kleiner wird. Wenn diese kleine Zusammenziehung beendet ist, kann keine weitere Verlängerung des Seiles durch die unter 2 und 4 genannten Momente stattfinden, deren Wirkung vielmehr durch die von den inneren Lagen herrührenden Gegenkräfte aufgehoben wird. Es kommt also nur ein kleiner Bruchteil \frac{1}{n}, der in der obigen Grundgleichung als Folge von 2 und 4 niedergeschriebenen Verlängerung zur Ausbildung. Da nun die Querzusammenziehung der „Spirale“ um so größer ist, je mehr Drähte auf ihrem Durchmesser nebeneinander liegen, so ist die Zahl n' abhängig von dem Verhältnis \frac{r}{e}\,:\,n'=n\,\frac{r}{e}. Die so verbesserte Gleichung für λ lautet also, wenn noch P=\frac{Q}{m} eingesetzt wird: \frac{\lambda}{l}=\frac{Q}{m\,E\,F}\,\left\{\mbox{sin}\,\alpha+2,6\,\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{tg}\,\alpha}+\frac{\zeta_1}{n}\,\frac{r}{e}\,\left[\mbox{sin}\,\alpha\right\right\}             \left+\,2,6\,\frac{\mbox{cos}\,\alpha}{\mbox{tg}\,\alpha}\,\frac{\zeta_2}{4}\,\left(1+\frac{J_x}{J_y}\right)\right]-\mu\,m\,\frac{R_a+R_i}{Q}\,\left[1\right             \left\left+\,2,6\,\frac{1}{\mbox{tg}\,\alpha}+\frac{\zeta_1}{n}\,\left(1+2,6\,\frac{1}{\mbox{tg}\,\alpha}\,\frac{\zeta_2}{4}\,\left(1+\frac{J_x}{J_y}\right)\right)\right]\right\}. Die Größe von n könnte ja aus dem Verhältnis der bekannten Querzusammenziehung einer freien Schraubenlinie zu der durch die Querkontraktion der Drähte gestatteten rechnerisch ermittelt werden. Da diese Rechnung eine recht umständliche ist und zur Beglaubigung durch Versuche nachgeprüft werden müßte, so schien es einfacher, gleich von vornherein von Versuchsergebnissen an geeigneten Seilstücken auszugehen. Die Messungen wurden angestellt an einem halbverschlossenem Seil nach Fig. 3 von 35 mm , dessen Runddrähte ∾ 5,0 mm , also 0,1964 qcm Querschnitt haben, während der Querschnitt eines Formdrahtes ∾ 0,200 qcm beträgtDas Seil wurde von Felten & Guilleaume, Carlswerk in Mülheim-Rhein zur Verfügung gestellt, die Befestigungsmuffen usw. von J. Pohlig A-G. in Köln-Zollstock. Die Versuche werden auf der Kettenprüfmaschine der Dortmunder Kettenfabrik F. C Hage ... ann ausgeführt.. Das Seil wurde in den Muffen in bekannter Weise durch Auflösen der Enden und Vergießen mit einer harten Weißmetallegierung befestigt. Am vorderen, dem Seil zugekehrten Ende der einen Einspannungsmuffe wurde der Uebersetzungsmechanismus eines Plattenfedermanometers durch Schrauben angebracht, am Ende der anderen Muffe wurde ein Faden ebenfalls vermittels einer Schraube befestigt, dessen freies Ende an dem Manometermechanismus angriff. Gespannt wurde der Faden durch eine lange, schwache Schraubenfeder, deren Zugkraft sich bei der geringen Verlängerung, die auftrat, nicht nennenswert änderte. Die so gemessenen Dehnungen des 1733 mm langen Seilstückes sind als Funktionen der Seilbelastung Q in Fig. 4 aufgetragen, und zwar decken sich mehrere hintereinander festgestellte Versuchsreihen mit großer Uebereinstimmung. Leider gestattete die Stärke der eingeschalteten Zugstangen aus Flußeisen nicht, über Q = 22 t hinauszugehen. Textabbildung Bd. 324, S. 755 Fig. 3. Wie man erkennt, sind die Dehnungen den Belastungen vollkommen proportional. Bei der Entlastung stellt sich infolge der inneren Reibung des Seiles eine höher gelegene Dehnungskurve ein, die mit der ersten parallel läuft. Bezeichnet man mit Fs die Summe der ganzen Drahtquerschnitte, den Seilquerschnitt, und mit Es die Elastizitätsziffer des Seiles, so ergibt die Gleichung \frac{\lambda}{l}=\frac{Q}{E_s \cdot F_s}, wenn für das harte Stahlmaterial E = 2150000 gerechnet wird, Es = 0,773E, also wesentlich größer, als der von Hrabák allgemein für Spiralseile angegebene Wert 0,60E. Der Unterschied der beiden Dehnungslinien der Fig. 4 gibt den doppelten Einfluß der in der Grundformel mit μ, behafteten Glieder an. Für das untersuchte Seil, dessen erste und zweite Lage tg α ∾ 3,60, also α ∾ 74°30' zeigen, während die äußerste dritte Lage tg α ∾ 2,80, also α ∾ 70°20' hat, liefert die Gleichung \frac{-\lambda_1}{l}=\frac{2\,\mu}{E\,F}\,\left(R_a+R_i\right)\,\left[1+\frac{2,6}{\mbox{tg}\,\alpha}+\frac{\zeta_1}{n}\,\left(1+\frac{2,6}{\mbox{tg}\,\alpha}\,\left(1+\frac{J_x}{J_y}\right)\right)\right] mit dem Wert μ = 0,2, für die Lage 3a der Formdrähte: Ra = 0, R_1\,\sim\,\frac{109}{1+\frac{1,89}{n}}, „ „ „ 3b „ Runddrähte: Ra = 0, R_i\,\sim\,\frac{111}{1+\frac{3,04}{n}}, für die Lage 2 „ (Runddrähte): R_a=\frac{50,5}{1+\frac{1,89}{n}}+\frac{55,8}{1+\frac{3,04}{n}}, also R_0+R_i\,\sim\,\frac{125}{1+\frac{3,17}{n}}, „ „ „ 1 „ (Runddrähte): ebenso: R_a+R_i\,\sim\,\frac{125}{1+\frac{3,17}{n}} Wie man bemerkt, steigt der auf die Drähte ausgeübte Druck nach innen zu nur wenig, weil die inneren Lagen immer loser geschlagen werden als die äußersten. Textabbildung Bd. 324, S. 755 Fig. 4. Hiermit läßt sich der Faktor m bestimmen, der angibt, den wievielten Teil der Gesamtlast ein Draht trägt. Man erhält aus der Hauptgleichung: für die Lage 3a: m\,\left(0,133+\frac{170}{Q}\right)=5,07\,\left(1+\frac{12,3}{n}\right) „ „ „ 3b: m\,\left(0,133+\frac{169}{Q}\right)=5,15\,\left(1+\frac{21,0}{n}\right) „ „ „ 2: m\,\left(0,133+\frac{177}{Q}\right)=4,75\,\left(1+\frac{14,7}{n}\right) „ „ „ 1: m\,\left(0,133+\frac{177}{Q}\right)=4,75\,\left(1+\frac{7,35}{n}\right) Textabbildung Bd. 324, S. 755 Fig. 5. Der innerste Draht o, der gerade ist, wird bis über die Streckgrenze des Materials beansprucht. Man wählte dazu früher stets ein besonders weiches und dehnbares Material, für das in der vorliegenden Rechnung σs ∾ 2900 kg/qcm angenommen ist. Damit gilt für die Lage 0: m = 1,77 . 10– 3 . Q. Jetzt wird vielfach für den Kerndraht dieselbe harte Qualität genommen wie für die äußeren Drähte. Dadurch kommt auf ihn leicht die doppelte und bisweilen noch höhere Belastung, als in der Folge errechnet wird. Für die Herstellung der Seile ist eid Gleichartigheit des Materials entschieden sehr bequem, jedoch ist die ältere Ausführung für die Verteilung der Belastung vorteilhafter. Noch ist die Zahl n unbekannt, die am einfachsten aus dem Zusammenhang ermittelt wird, daß die Gesamtbelastung aller Drähte gleich der Seilbelastung ist: \Sigma\,\frac{Q}{m}=Q, oder nach Hebung von Q, mit den zutreffenden Drahtzahlen: \frac{10}{m_{3a}}+\frac{10}{m_{3b}}+\frac{12}{m_2}+\frac{6}{m_1}+\frac{1}{m_0}=1. Die Rechnung liefert, wie zu erwarten war, n abhängig von der Belastung Q, denn mit steigender Belastung legen sich die einzelnen „Spiralen“ fester aufeinander und der Beitrag des Biegungs- und des Verdrehungsmomentes zur Seilverlängerung wird immer geringer. Man erhält für Q = 10 12,5 15 t. n ∾ 62,4 70,0 88,1. Zeichnerisch ist der Verlauf von n in Fig. 5 aufgetragen, und zwar ist die Achse auf die Ordinate 50 verschoben worden, damit die Figur nicht so große Höhe erhält. Nun ergeben sich für die einzelnen Drähte die folgenden Werte von m: Seilbelastung Q: 10 12,5 15 t Lage 3a (Formdrähte): 40,3(41,0) 40,6(41,4) 40,0(40,7) „ 3b (Runddrähte): 45,8 45,6 44,1 „ 2 „ 38,8 39,0 38,2 „ 1 „ 35,2 35,6 35,5 „ 0 (gerader Draht): 17,7 22,1 26,6 Die Zusammenstellung zeigt, daß die Belastung der Drähte durchaus nicht gleichmäßig ist, sondern von innen nach außen abnimmt. Da die Querschnitte der Form- und Runddrähte in Lage 3 sich verhalten wie 0,200 : 0,1964, so ist die Belastung der ersteren auf denselben Querschnitt bezogen, den die übrigen Drähte haben, durch die in der zweiten Zeile stehenden eingeklammerten Zahlen ausgedrückt. Wie man sieht, kommt auf die Formdrähte etwas mehr von der Last, als auf die dazwischenliegenden Runddrähte, und zwar ungefähr 10 v.H. Erwähnt sei noch, daß das Drahtmaterial des Seiles eine Zerreißfestigkeit von ∾ 11500 kg/qcm besaß. Je größer die Festigkeit der Drähte ist, desto fester wird auch das Seil bei der Herstellung geschlagen, was sich im vorliegenden Fall durch den hohen Wert der Zahl n bemerklich macht. (Fortsetzung folgt.)