Graphodynamische Untersuchung einer Heusinger-Joy-Steuerung. Ein Beitrag zur Erkenntnis der Bewegungsverhältnisse der Steuerungsgetriebe. Von Dipl.-Ing. Eduard Dafinger, München. (Fortsetzung von S. 99 d. Bd.) Graphodynamische Untersuchung einer Heusinger-Joy-Steuerung. II. Bestimmung der Beschleunigungen. Die Beschleunigung gibt die Aenderung der Geschwindigkeit an. Sie läßt sich geometrisch in zwei Richtungen zerlegen und zwar in eine Komponente in Richtung der Geschwindigkeit und in eine Komponente senkrecht dazu. Die erstere wird bezeichnet als Tangentialbeschleunigung und die letztere als Normalbeschleunigung. Die Tangentialbeschleunigung ist von der Aenderung der Geschwindigkeitsrichtung unabhängig; sie gibt nur die Aenderung der Geschwindigkeit ihrer Größe nach an. Die Normalbeschleunigung jedoch gibt die Aenderung der Geschwindigkeitsrichtung; wird also sowohl von der momentanen Geschwindigkeitsgröße, als auch von der Wegkrümmung des bewegten Punktes abhängen. Bezeichnet v die Geschwindigkeit eines Punktes und r den Krümmungshalbmesser der Bahn des Punktes, dann ist die Normalbeschleunigung jn = v2 : r Zur Durchführung der vorliegenden Aufgabe wurde konstante Kurbelzapfengeschwindigkeit angenommen, woraus folgt, daß die Tangentialbeschleunigung des Kurbelzapfens jt = 0 wird. Die Normalbeschleunigung desselben berechnet sich aus obiger Formel zu jn= v2 : r = (9,596)2 : 0,285 = 323,1 m/Sek.2. Da die Tangentialbeschleunigung jt des Punktes A = 0 ist, muß die gefundene Normalbeschleunigung auch zugleich die resultierende Beschleunigung sein. jn= j = 323,1 m/Sek.2. Die Tangentialbeschleunigung eines Punktes kann gleich und entgegengesetzt der Geschwindigkeit desselben gerichtet sein. Im ersteren Fall bedeutet sie ein Wachsen, und im letzteren ein Abnehmen der Geschwindigkeit. Die Normalbeschleunigung ist stets dem Krümmungsmittelpunkt der Bahn zu gerichtet. Die graphische Konstruktion derselben nach obiger Gleichung ist in der folgenden Figur angegeben. Textabbildung Bd. 322, S. 135 Fig. 10. Fig. 10. AB ist ein bewegtes System, das sich so bewegt, daß der Punkt B die momentane Geschwindigkeit Bv besitzt, und daß der Krümmungsmittelpunkt der Bahn, die B augenblicklich beschreibt, der Punkt A ist. Es ist dann AB der Krümmungshalbmesser. Es soll die Normalbeschleunigung des Punktes B bestimmt werden. Man verbindet den Endpunkt von Bv mit A und errichtet in demselben ein Lot auf BvA. Dieses Lot schneidet die Normalbeschleunigung von B auf der Verlängerung des Krümmungshalbmessers ihrer Größe nach ab. Denn es ergibt sich aus der Aehnlichkeit der Dreiecke ABBv und BBvB' die Proportion: AB : BBv = BBv : BB' BB' = (BBv) : AB. Da BBy die Geschwindigkeit und AB der Krümmungshalbmesser ist, muß nach der Gleichung jn = v2 : r BB' die Normalbeschleunigung sein. Diese ist stets dem Krümmungsmittelpunkt zu gerichtet, weshalb sie von B nach A hin aufgetragen werden muß, um sie in der Strecke BBn ihrer Größe und Richtung nach zu erhalten. Wendet man diese Konstruktion auf die Bestimmung der Normalbeschleunigung des Kurbelzapfens A an, so wird diese – da Av gleich dem Kurbelradius eingezeichnet wurde – ebenfalls gleich dem Kurbelradius. Damit ist der Maßstab für die graphisch als Strecken dargestellten Beschleunigungen festgelegt. Er wird derart, daß 1 mm der Zeichnung = 323,1 : QA m/Sek.2 ist, wobei QA die Länge des Kurbelradius aus der Zeichnung in mm ist. Die Konstruktion der Beschleunigung eines zwangläufig bewegten Punktes soll zuerst in den folgenden Fig. 11–14 an allgemeinen Fällen erläutert, und die daraus abgeleiteten Regeln sollen auf die vorliegende Steuerung angewendet werden. Textabbildung Bd. 322, S. 136 Fig. 11. Fig. 11. Im Getriebe ABCDE sind A und E feste Punkte, um die die Stangen AB und DE sich drehen. Gegeben sind die Beschleunigungen Bj und Dj der Punkte B und D, sowie die dadurch auch bestimmten Geschwindigkeiten Bv, Dv und Cv der Punkte B, D und C. Die Beschleunigung Cj des Punktes C soll gesucht werden. Nach Burmester ist zuerst die Relativgeschwindigkeit des Punktes C um B zu bestimmen. Im Interesse der Deutlichkeit der Figur ist es vorzuziehen, die Relativgeschwindigkeit des Punktes B um C zu suchen, da diese ihrer Größe nach gleich der von C um B sein muß. Man trägt Cv parallel an B als C'v an und bestimmt eine auf BC senkrecht stehende Geschwindigkeit B'v so, daß diese und C'v als Resultierende die Geschwindigkeit Bv ergeben. B'v ist die Relativgeschwindigkeit von B um C und – ihrer Größe aber nicht dem Richtungssinn nach – die Relativgeschwindigkeit von C um B. Nach Fig. 10 wird die Normalbeschleunigung der Relativbewegung bestimmt. Diese ist der Größe nach BB'. Ihre Richtung muß von dem bewegten Punkte C nach dem Drehpunkt A hin sein. Man trägt die Beschleunigung Bj an dem Punkte C parallel an und fügt daran die Normalbeschleunigung der Relativbewegung des Punktes C um B. Durch den Endpunkt dieses Linienzuges CBjB''' wird ein Lot auf CB gefällt, das der erste geometrische Ort I für die gesuchte Beschleunigung des Punktes C sein muß. Wird dieselbe Konstruktion von D aus durchgeführt, so erhält man in dem Lote II auf CD den zweiten geometrischen Ort für Cj. Die Verbindungslinie des Schnittpunktes von I und II mit dem Punkte C ist die gesuchte Beschleunigung des Punktes C der Größe und Richtung nach. Textabbildung Bd. 322, S. 136 Fig. 12. Fig. 12. In der vorigen Figur ist die Beschleunigung des Punktes C aufgesucht worden. Es soll untersucht werden, welche Veränderung diese Beschleunigung erleidet, wenn dem Punkte B eine zusätzliche Tangentialbeschleunigung Bt erteilt wird. An dem Punkte B wird die Tangentialbeschleunigung Bt sich mit der Beschleunigung Bj zur Resultierenden B'j geometrisch addieren, und da die Beschleunigung von B an C parallel angetragen wird, muß Bt auch an dem Linienzug CBj'B''' noch der Grösse und Richtung nach angehängt werden. Der geometrische Ort I rückt nach I' und die Beschleunigung von C wird C'j Es werde nun Bt auf dem Polstrahl von B, auf BA abgetragen und durch den Endpunkt B'' eine parallele Gerade zu CB gezogen. Diese schneidet auf CD die Strecke CQ ab. Ferner sei noch CR parallel BA und CjS parallel B'''B't gezogen. Dann folgt aus der Kongruenz der Dreieke CQR und CjC'jS, dass CQ = CjC'j ist. Aus diesem Ergebnis läßt sich folgende Konstruktion für die Beschleunigung C'j ableiten. Die zusätzliche Tangentialbeschleunigung Bt wird auf dem Polstrahl abgetragen und durch den so erhaltenen Punkt B'' eine parallele Gerade zu BC gezogen. Diese schneidet auf CD die Strecke CQ ab, die um 90° so verdreht wird, wie BB'' verdreht werden muß um nach Bt zu gelangen. CQ' wird dann mit Cj zu der Beschleunigung C'j als der Resultierenden geometrisch zusammengesetzt. Fig. 12a. Die Geschwindigkeit Cv des Punktes C setzt sich aus zwei Komponenten zusammen und zwar aus Cv' und Cv'' . Cv' ist die Geschwindigkeit von C unter der Annahme, daß D für einen Moment festgehalten wird und Cv'' ist die Geschwindigkeit von C unter der Annahme, daß B für einen Moment in Ruhe ist. Durch das in Fig. 11 erläuterte Hinzufügen einer Tangentialbeschleunigung im Punkte B wird in C eine zusätzliche Beschleunigung hervorgerufen, die senkrecht CD ist, also dieselbe Richtung hat wie die Geschwindigkeitskomponente Cv'. Auch die Bestimmung des Richtungssinns und die Konstruktion von B't ist die gleiche, wie die von Cv'. Daraus ergibt sich die einfache Konstruktionsregel, daß die einer beim Punkte B in das Getriebe eingeleiteten Bewegung nachträglich erteilte Tangentialbeschleunigung am Punkte C eine zusätzliche Beschleunigung hervorrufen wird, die sich ihrer Größe und Richtung nach genau so bestimmen läßt, wie der Geschwindigkeitsanteil des Punktes C, der von der erwähnten eingeleiteten Bewegung herrührt; oder zusätzliche Tangentialbeschleunigungen können wie Geschwindigkeiten behandelt werden.Dieses Resultat läßt sich auch aus dem folgenden Lehrsatz in Burmesters Lehrbuch der Kinematik ableiten: „Die Endpunkte Fj, Lj, der Beschleunigungen zweier Punkte F, L eines konplan bewegten ebenen Systems sind entsprechende Punkte zweier affiner ebener Systeme, in denen die Punkte F, L, sowie die Endpunkte von Fv, Lv ihrer Geschwindigkeiten entsprechende Punkte sind und in denen der momentane Wendepol der Doppelpunkt ist“. Man ist somit berechtigt eine auf dem Polstrahl abgetragene Tangentialbeschleunigung gleichlautend wie bei der Geschwindigkeit mit dem Namen lotrechte Tangentialbeschleunigung zu bezeichnen. Textabbildung Bd. 322, S. 137 Fig. 12a. Wenn in dem Getriebe ABCDE aus Fig. 11 und 12 der Punkt D in Ruhe ist, so erhält man einen Spezialall, der in den nachfolgenden Fig. 13 und 14 noch eingehender erläutert werden soll, da er in der vorliegenden Steuerung sehr oft verkommt. Textabbildung Bd. 322, S. 137 Fig. 13. Fig. 13. ABCD ist ein Kurbelviereck. Um die festen Punkte A und D drehen sich die Stangen AB und CD. Die Beschleunigung Bj des Punktes B und die dadurch auch bestimmten Geschwindigkeiten Bv und Cv der Punkte B und C sind gegeben. Es soll die Beschleunigung des Punktes C gesucht werden. Die Strecke Bv ist die Grösse der Relativgeschwindigkeit des Punktes C um B und nach Fig. 10 findet man BB' als die Normalbeschleunigung dieser Relativbewegung, die in C in der Richtung CB wirkt. Bj wird parallel an C angetragen und daran die Normalbeschleunigung der Relativdrehung des Punktes C um B gefügt. Durch den Endpunkt B''' dieses Linienzuges fällt man ein Lot auf BC, das der erste geometrische Ort für Cj ist. Cv ist die Geschwindigkeit des Punktes C um D. Nach Fig. 10 ist dann die Normalbeschleunigung CC''. Ein Lot in C'' auf CD ist der zweite geometrische Ort II für Cj. Die Verbindungslinie des Schnittpunktes von I und II mit C muß die gesuchte Beschleunigung Cj sein. Fig. 14. Das Getriebe ist das gleiche wie in Fig. 13. Gegeben sind die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen von B und C. Es soll die Beschleunigung eines beliebigen Punktes F der Stange BC gesucht werden. Nach Tolle (Regelung der Kraftmaschinen S. 29) setzt sich die Beschleunigung des Punktes F aus zwei Komponenten zusammen, nämlich aus Fj' und Fj''. Fj' ist der Beschleunigungsanteil, den F von C her erhält. Er bestimmt sich aus der Gleichung: F_{j'}=C_j\cdot \frac{B\,F}{B\,C} Fj' ist parallel der Beschleunigung Cj. – Fj'' ist der Beschleunigungsanteil, den F vom Punkte B her erhält. Fj'' ist parallel Bj und bestimmt sich aus der Gleichung F_{j''}=B_j\cdot \frac{C\,F}{B\,C} Werden diese beiden Komponenten geometrisch addiert, so geben sie die gesuchte Beschleunigung Fj. Textabbildung Bd. 322, S. 137 Fig. 14. Verbindet man weiter die Endpunkte der Beschleunigungen Bj und Cj mit einander, so liegt auch der Endpunkt der Beschleunigung Fj auf dieser Verbindungslinie und zwar teilt er sie im gleichen Verhältnis, wie F die Strecke BC teilt. Daraus ergibt sich für die Aufsuchung von Fj die folgende Konstruktion. Man verbindet die Endpunkte von Bj und Cj mit einander und teilt diese Verbindungslinie in demselben Verhältnis in dem F die Strecke BC teilt. Die Verbindungslinie des Teilpunktes mit F ist die gesuchte Beschleunigung Fj ihrer Größe und Richtung nach. In den weiteren Figuren folgt die Anwendung der vorstehenden Beschleunigungskonstruktionen auf die einzelnen Stangen und Gelenkpunkte der zur Untersuchung vorliegenden Steuerung. Und zwar wird in den Fig. 15 bis 19 der erste Teil des Steuergetriebes, umfassend die Stangen BC, CD, EF, FG und die Kulisse mit dem Kurbelmechanismus behandelt. Dieser Teil erhält nur eine Bewegung von der Kurbel her eingeleitet; während der zweite Teil, der aus den Stangen IK, IL, MN, NO und dem Hilfsgetriebe besteht, einen doppelten Antrieb erhält und in den Fig. 20 – 27 behandelt werden soll. Fig. 15. Gegeben ist die Beschleunigung des Kurbelzapfens. Es soll die Beschleunigung des Kreuzkopfes R bestimmt werden. Zuerst ist die Relativgeschwindigkeit des Kreuzkopfes um den Kurbelzapfen zu bestimmen. Dieses geschieht wie in den Fig. 11 und 13 und ist Av' die Relativgeschwindigkeit ihrer Größe nach. Nach Fig. 10 ist dann AA' die Normalbeschleunigung der Relativbewegung ihrer Größe nach. Am Kreuzkopf R wird die Beschleunigung des Kurbelzapfens angetragen und daran ihrer Richtung nach die Normalbeschleunigung der Relativbewegung gefügt. Im Endpunkte A''' des so erhaltenen Linienzuges wird ein Lot zu AR gefällt, das der erste geometrische Ort I für die gesuchte Beschleunigung ist. Der Punkt R wird auf der Gleitbahn gerade geführt. Dieses kommt einer Drehung um einen unendlich fernen Punkt gleich, für die die Normalbeschleunigung = O ist. Der zweite geometrische Ort II muß also die Bahn von R selbst sein. Die Verbindungslinie des Schnittpunktes von I und II mit R ist die gesuchte Beschleunigung Rj. Textabbildung Bd. 322, S. 138 Fig. 15. Textabbildung Bd. 322, S. 138 Fig. 16. Fig. 16. Gegeben sind die Beschleunigungen des Kurbelzapfens und des Kreuzkopfes. Es soll die Beschleunigung des auf der Triebstange liegenden Punktes B bestimmt werden. Nach Fig. 13 werden die Endpunkte der beiden gegebenen Beschleunigungen durch eine Gerade verbunden, und diese wird in demselben Verhältnis geteilt, in welchem der Punkt B die Strecke AR teilt. Wird der Teilpunkt mit B verbunden, so ist diese Verbindungslinie die gesuchte Beschleunigung des Punktes B. Textabbildung Bd. 322, S. 138 Fig. 17. Fig. 17. Gegeben ist die Beschleunigung Bj des Punktes B, und gesucht soll die Beschleunigung Cj des Punktes C werden. Die Relativgeschwindigkeit des Punktes C um B wird bei B bestimmt und ist der Größe nach B'v. Nach Fig. 10 wird dann die Normalbeschleunigung dieser Relativbewegung der Größe nach gleich BB'. Die Beschleunigung von B wird in C parallel angetragen und daran die Normalbeschleunigung der Relativbewegung gefügt. Dies gibt den Linienzug CB'jB''', durch dessen Endpunkt B''' ein Lot auf BC gefällt wird, das der erste geometrische Ort I für Cj ist. Die Normalbeschleunigung der Drehung von C um D wird nach Fig. 10 bestimmt und ist sowohl ihrer Größe, als auch ihrer Richtung nach gleich CC''. Das Lot in C'' auf CD ist der zweite geometrische Ort II für die gesuchte Beschleunigung des Punktes C. Somit muß Cj die Verbindungslinie des Schnittpunktes von I und II mit C sein. Textabbildung Bd. 322, S. 138 Fig. 18. Fig. 18. Gegeben sind die Beschleunigungen der Punkte B und C. Es soll die Beschleunigung des auf BC liegenden Punktes E bestimmt werden. Nach Fig. 14 verbindet man die Endpunkte von Bj und Cj miteinander und teilt diese Verbindungslinie in dem gleichen Verhältnis, in welchem der Punkt E die Strecke CB teilt. Die Verbindungslinie dieses Teilpunktes mit E ist die gesuchte Beschleunigung Ej des Punktes E. Textabbildung Bd. 322, S. 138 Fig. 19. Fig. 19. Gegeben ist die Beschleunigung des Punktes E; es soll die Beschleunigung des Punktes F gesucht werden. Die Relativgeschwindigkeit des Punktes F um E bestimmt sich wie früher, und sie ist ihrer Größe nach E'v. Die Normalbeschleunigung der Relativbewegung wird nach Fig. 10 konstruiert, und sie ist ihrer Größe nach gleich EE'. Die Beschleunigung von E wird in F parallel angetragen und daran die Normalbeschleunigung der Relativbewegung gefügt. Durch den Endpunkt des so erhaltenen Linienzuges FE'jE''' wird ein Lot auf EF gefällt, das der erste geometrische Ort I für Fj ist. Fv ist die Geschwindigkeit von F um G, und nach Fig. 10 wird die Normalbeschleunigung dieser Bewegung gleich FF''. Das Lot in F'' auf FG ist der zweite geometrische Ort der gesuchten Beschleunigung von F. Somit muß Fj die Verbindungslinie des Schnittpunktes von I und II mit F sein. Zur Aufsuchung der Beschleunigungen in den übrigen Steuerungsteilen wird das in Fig. 7 erwähnte Hilfsgetriebe eingeschaltet. Man ersetzt die Kulisse durch des Gelenk GTH, wobei FGT als starres System zu betrachten ist, das sich um G dreht. (Fortsetzung folgt.)