Die Kreisabwicklung. Eine Studie von Ingenieur Werner Gropp. [Die Kreisabwicklung.] Legt man den Scheitel eines rechten Winkels in den Punkt d und läßt den Winkel in d pendeln, dann schneiden bekanntlich die Schenkel auf der Horizontalen ub Linien vom Fuße der Senkrechten de ab, welche stets das gleiche Produkt geben: tc ∙ sc = uc ∙ lc = dc2. Gibt man d c den Wert von π = 3,14...., dann müssen die Produkte den Umfang des Kreises vom Durchmesser π geben oder tc ∙ sc = uc ∙ lc = π2. Geht der eine Schenkel, z.B. ud durch denjenigen Punkt der Horizontalen, welcher um die Umfangslänge von c liegt, dann muß lc gleich den Wert der Einheit annehmen, wenn der andere Schenkel dl durch den Punkt l geht. Denn uc ∙ lc = π2 und da uc = π2 ist, muß lc = l sein. Daraus ergibt sich, daß, wenn man den einen Schenkel durch den Halbierungspunkt von u c legt, der andere Schenkel dann durch einen Punkt gehen muß, welcher zwei Einheiten von c entfernt liegt und umgekehrt, schneidet der eine Schenkel z.B. drei Einheiten von c aus ab, dann muß der andere Schenkel durch den Punkt gehen, welcher \frac{\pi^2}{3} oder \frac{u\,c}{3} oder \frac{1}{3} des Umfanges von c entfernt liegt. Bildet man aus dc, oder wie angenommen, aus π ein rechtwinkliges Dreieck von 60° und 30°, also q a c, dann wird bekanntlich 3ac–2= π2 . . . . . I) Dieser Ausdruck läßt sich linear darstellen. Zu diesem Zweck nehme man die beliebige Einheit cl und erhebe im Punkt l die Senkrechte. Trägt man die Diagonale vom Quadrat cl × cl oder √2 von l nach e, dann ist ec = √3. Legt man durch den Punkt e eine Linie ag unter 60° zur Horizontalen, dann wird das Dreieck cga ein gleichseitiges, wenn man von c aus ebenfalls unter 60° zur Horizontalen die Linie cgq zieht. Erhebt man in a die Senkrechte und verlängert ce bis r, dann hat man: cl; ca = ce : er und weil ce = √3 ca √3 = cr. Schlägt man mit cr aus c den Bogen drb, dann hat man auch dc = ca √3 und muß ag verlängert durch d gehen. Textabbildung Bd. 322, S. 545 Die Linie cq schneidet den Bogen drb in w und weil. wc = cb und Winkel web 60° ist, muß wb parallel da sein. Die Linie wb schneidet rc im Punkt m, und man hat wc : gc = mc : ec oder wc ∙ ec = gc ∙ mc und weil wc = rc = ca √3, ec = √3 und gc = ac ist, hat man ca ∙ √3 ∙ √3 = ac ∙ mc oder mc = 3 . . . . . II) Schlägt man mit ac aus c den Bogen gna und zieht durch n den Strahl cnp, dann hat man nc : cl (oder l) = pc : ac und da nc = ac ist pc = ac2 . . . . . III) Multipliziert man II mit III, dann hat man mc ∙ pc = 3 ac–2. Weil aber 3ac–2 = π2 ist, ergibt sich mc ∙ pc= π–2 = 3 ac–2. Es ist m c = 3, folgl. p\,c=\frac{\pi^{-2}}{3} und damit ein Drittel vom Umfang (von π2) abgewickelt. Ist nach dem Vorstehenden ein Kreis vom Durchmesser de gegeben, so setze man de = π, dessen wirkliche Länge hier dann gegeben ist. Zieht man von d aus die Linie da unter 60° zur Horizontalen und erhebt in a die Senkrechte ar bis zum Schnittpunkt mit der Kreislinie, dann schneidet die Linie rc auf da einen Punkt der Senkrechten in l. Damit ist das Verhältnis der Einheit zu π linear gegeben und jegliche Potenz von π leicht in Linien ausgedrückt.