Studien über die Bildung des Kötzers beim Selfaktor. Von Dipl.-Ing. Michael Früh, Fürth i. B. (Schluß von S. 536 d. Bd.) Studien über die Bildung des Kötzers beim Selfaktor. Soll nun zum Schluß noch der Grenzfall eines Wendepunktes mit wagerechter Tangente betrachtet werden, so wird es sich zeigen, daß für je einen Wert von e ein ganz bestimmtes r sich ergibt, der jedoch in der Praxis unbrauchbar ist. Es werde für die Vereinfachungen der Gleichungen gesetzt: r = λc: e = δc; in 39). Es müssen dann folgende Bedingungsgleichungen erfüllt werden: k' =0 . . . . . 45) k'' = 0 . . . . . 46) (u + δ) – λ sin u – λ (u + δ) cos u = 0 . . .45) \lambda=\frac{u+\delta}{\mbox{sin}\,u+(u+\delta)\,\mbox{cos}\,u}; 1 – 2 λ cos u + λ (u + δ) sin u = 0; . . 46) \lambda=\frac{1}{2\,\mbox{cos}\,u-(u+\delta)\,\mbox{sin}\,u}; aus Gleichung 46 den Wert für λ in Gleichung 45 eingesetzt, gibt Gleichung 47 2\,\mbox{cos}\,u-(u+\delta)\,\mbox{sin}\,u=\frac{\mbox{sin}\,u}{u+\delta}+\mbox{cos}\,u; . . . . . 47) \mbox{ctg}\,u=u+\delta+\frac{1}{u+\delta}; . . . . .47) Diese Gleichung ergibt dann die Werte, bezw. einen brauchbaren Wert, für welchen obige Bedingungsgleichung erfüllt wird. Die linke Seite der Gleichung 47 stellt die Kotangentenlinie, die rechte eine Hyperbel dar. Für eine graphische Lösung der Aufgabe soll die Hyperbel genauer untersucht werden. y=u+\delta+\frac{1}{u+\delta} . . . . . 48) y'=1-\frac{1}{(u+\delta)^2} . . . . . 49) 1. u = ∞; y = ∞; y' = 1; d.h. die erste Asymptote ist gegen die positive u-Halbachse um 45° geneigt. 2. u = – δ: y = ∞; y' = ∞; d.h. die zweite Asymptote ist eine Parallele zur y-Achse mit der Abszisse n = – δ. Der Schnittpunkt beider Asymptoten liegt auf der u-Achse, denn z.B. u=-\delta+a;\ y=a+\frac{1}{a} u=-\delta-a;\ y=-\left(a+\frac{1}{a}\right). Wo sich nun die Hyperbel und die Kurve y = ctg u schneiden, sind die gesuchten Werte für u. Für die Untersuchung kommt nur der eine von den unendlich vielen Schnittpunkten in Betracht, der im ersten Quadranten liegt (Fig. 17). z.B. £ = 50 cm; s =157 cm; dann ist c=\frac{2}{\pi}\cdot 157=100^{cm}, wenn v=\frac{\pi}{2} dann erhält man folgenden Wert für u0 und zwar im Bogenmaß u0 = 0,462 im Gradmaß u0 = 260 30' in 45) oder 46) λ = 0,735 r = λ ∙ c = 73,5 cm < c; siehe 42) s1= u0 ∙ c = 46,2 cm; dieser Wert s1 entspricht der Fadenlänge für die absteigende Spirale; die zugehörige Kettenlänge m1 = k1 – k0 = 2,4 cm. Im Folgenden wird es sich zeigen, daß diese Kettenlänge, die sich sofort aus Gleichung 39 berechnen läßt, somit die zugehörige Tourenzahl viel zu klein wird, um in der Praxis davon Gebrauch zu machen, einen Wendepunkt mit wagerechter Tangente zu erhalten. Textabbildung Bd. 322, S. 546 Fig. 17. Um nun einen anschaulichen Beweis zu führen, nimmt man Werte an, welche die günstigsten Größen für die Tourenzahl der Spindeln ergeben und um ganz sicher zu sein, daß dieser spezielle Fall- für die praktische Verwertung ausgeschlossen ist. Es sei in Fig. 18 d = Spindeldurchmesser; D = Kettentrommeldurchmesser; i = Uebersetzungsverhältnis von Trommel auf Spindel; t = Tourenzahl der Spindeln; m = abgewickelte Kettenlänge, entsprechend t Touren; s = gesamte Fadenlänge; T = Tourenzahl der Spindeln während der ganzen Wageneinfahrt. Dann ist: t=m\,\frac{i}{\pi\,D}=m\cdot n . . . . . 50) d=\frac{D}{i} . . . . . 51) Gleichung 50 entstand dadurch, daß man sagt: die abgewickelte Kettenlänge muß gleich sein dem Produkt aus dem Umfang der Kettentrommel, um welche also vorher die Kette geschlungen war, multipliziert mit der Tourenzahl, welche die Trommel während dieser Zeit ausgeführt hat. Textabbildung Bd. 322, S. 547 Fig. 18. Gleichung 51 ergab sich aus folgenden zwei Gleichungen 52, 53, die entstehen, wenn man den Beginn der Kötzerbildung, also die Wicklungen auf die nackten Spindeln betrachtet, so daß also angenommen werden kann: s = m; denn r = 0, d.h. nachdem für diesen Fall der Aufhängepunkt der Kette am Quadrantenarm nahezu mit dem Drehpunkt desselben zusammenfällt, kann die abgewickelte Kettenlänge gleichgesetzt werden mit dem Wagenweg, also auch mit der aufzuwickelnden Fadenlänge. Setzt man diesen Wert nun in die Gleichung 50 ein, so ergibt sich T=s\,\frac{i}{\pi\,D} . . . . . 52) Eine weitere Gleichung 53 erhält man durch die Ueberlegung, daß eine Fadenlänge s auf den nackten Spindeldurchmesser d aufgewunden werden muß. T=\frac{s}{\pi\,d} . . . . . 53) Mathematisch genau genommen ist Gleichung 53 nicht richtig, denn es ist die Spindel weder ein Zylinder, sondern ein schwach geneigter Kegel, noch wird der Faden, wie hier angenommen wurde, in Form von Fadenringen aufgelegt; doch sollen diese kleinen Fehler, wie schon früher geschehen ist, stillschweigend übergangen werden. Dividiert man nun die beiden Gleichungen 52 und 53 durch einander, so erhält man Gleichung 51. Es sei nun z.B. i = 20, d = 6 mm; aus Gleichung 51 D = 120 mm; der Spindeldurchmesser ist absichtlich möglichst klein gewählt worden, damit in Gleichung 50 n entsprechend groß wird. Dies wird noch mehr begünstigt, wenn D noch kleiner gewählt wird, wie es eigentlich Gleichung 51 ergibt. In der Praxis könnte man dies schließlich zulassen; es würden eben während der ersten Schichtenbildung die Spindeln zu viel Touren machen; es müßte dann der Aufhängepunkt der Quadrantenkette schon von Anfang an eine gewisse Entfernung vom Drehpunkt des Armes haben. Für den Wert z.B. D = 100 mm ist dann Gleichung 50 t_1=1,5=m_1\,\frac{i}{\pi\,D}=\frac{24\cdot 20}{\pi\cdot 100}, wobei m1 gleich ist derjenigen Kettenlänge, welche während der Bildung der absteigenden Spirale abgewickelt wird, nachdem der Aufhängepunkt J der Kette (Fig. 16, S. 534) seine Entfernung r vom Drehpunkt D nicht mehr ändert. Die zugehörige Tourenzahl der Spindeln ist t1 = 1,5; dieser Wert ist selbstverständlich zu klein, trotz der für ein möglichst großes t1 angenommenen günstigsten Werte. Dieses Resultat allein genügt schon, einen solchen speziellen Fall einer Kurve der Spindelgeschwindigkeit mit wagerechter Wendetangente für die Praxis auszuschließen. Bei dieser Untersuchung wurde zwar die Voraussetzung gemacht, daß v=\frac{\pi}{2}; selbst bei einer anderen Annahme von v würde kein günstigeres Resultat für t1 entstehen. Denn nicht nur, daß die Tourenzahl zu klein ist, um den Zweck zu erreichen, den man mit der Kreuzwindung beabsichtigt sondern daß auch der zugehörige mittlere Schichtendurchmesser viel zu groß ausfallen würde, denn es ist gegeben: s1 = 46,2 cm, t1 = 1,5, dann ist bestimmt dm = mittlerer Schichtendurchmesser; d_m=\frac{46,2}{\pi\cdot 1,5}=\,\sim\,10 cm (s. Gleichung 17) Will man jedoch unbedingt diesen speziellen Fall einer wagerechten Wendetangente erreichen, so ist man eben gezwungen, einen Quadranten mit veränderlicher Winkelgeschwindigkeit zu konstruieren. Die nächste Betrachtung soll über diesen einen Aufschluß geben. B. Quadrant mit veränderlicher Winkelgeschwindigkeit. Gegeben ist alles was zur Untersuchung des Quadranten mit veränderlicher Winkelgeschwindigkeit bezw. zur Aufstellung einer Gleichung für die letztere erforderlich ist; somit sind also gegeben: Die Gestalt der Kegelschichten, der Wagenweg entsprechend der ab- und aufsteigenden Spirale, die Entfernung des Quadrantendrehpunktes D von der Anfangsstellung der Trommel, die Anfangsstellung des Quadrantenarmes senkrecht zur Bewegungsrichtung der Trommel, die Gleichung 21 und 23 usw. Der Quadrantenarm macht also während der ganzen Wageneinfahrt eine Drehung \frac{\pi}{2}. Es soll nun eine Gleichung für die veränderliche Winkelgeschwindigkeit des Quadrantenarmes aufgestellt werden, so daß für jede beliebige Wagenstellung sofort die zugehörige Drehung des Armes um den ∡ u angegeben werden kann, die nötig ist, den Spindeln jene Tourenzahl zu erteilen, welche den Gleichungen 21 und 23 Genüge leistet. Man betrachte zu diesem Zweck den Quadranten und seine Wirkungsweise als einen Kurbelmechanismus, wobei der Quadrantenarm die Kurbel und die frei hängende Kette die Schubstange vorstellt. Dieser Kurbelmechanismus unterscheidet sich insofern wesentlich von demjenigen z.B. der Dampfmaschine, daß die Schubstange keine konstante Länge hat, sondern stetig wächst und zwar nach den Gesetzen wie sie in den Gleichungen 21 und 23 ausgedrückt sind. Während in bezug auf die Schubstange der eine Endpunkt J (Fig. 19) derselben seine Lage nie verändert, schreitet der andere Endpunkt R in Richtung der Stange stetig fort, gemäß der oben angeführten Gesetze. A sei wiederum die Anfangsstellung der Trommel, infolgedessen ist AJ = k0 die kürzeste Länge der Schubstange. Man denkt sich nun dieselbe von vornherein schon in Richtung AJ über Punkt A hinaus verlängert. R sei nun ein Ring, welcher den wandernden Endpunkt der Schubstange vorstellen soll; dieser Ring verbinde nun letztere mit der Trommelrichtung, wenn man eben die Bahn der Trommel als festliegende Stange AB betrachtet; so daß dann durch diesen Ring beide Stangen gehen. Die Trommel lege nun einen Weg AX = x zurück; infolgedessen muß sich nun auch der Ring R an der Stelle X befinden, denn er wird ja gezwungen, diesen Weg mitzumachen. Während nun die Trommel diesen Weg zurücklegt, muß gemäß den Gleichungen 21 und 23 eine Kettenlänge AY = y abgewickelt werden, d.h. die Schubstange vergrößert sich während dieser Zeit um diese Strecke, so daß sie eine Gesamtlänge JY = k besitzt. Man stelle sich nun vor, daß der Ring R, um nach X zu gelangen, folgende Bewegung ausgeführt hat. Der Quadrant ist in Ruhe, während R sich in Richtung der Schubstange JA nach Y bewegt; alsdann macht die Schubstange von der Länge JY eine Drehung um Punkt J entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn, bis der Punkt K, somit auch der Ring R nach X' gelangen. Jetzt hat letzterer noch den geradlinigen Weg XX' = x' zurückzulegen und zwar bei konstant bleibender Schubstangenlänge; infolgedessen muß der Quadrantenarm JD, betrachtet als Kurbel, eine Drehung u im Uhrzeigersinn ausführen, damit schließlich der Ring R nach X kommt. Auf Grund dieser Betrachtung ist man zu einem Kurbelmechanismus mit konstanter Schubstangenlänge innerhalb eines Wagenweges x gelangt. Nachdem alle Größen bis auf ∡ u bekannt sind, kann man nun zu dessen Berechnung übergehen. Diesem Zweck diene nun die folgende Berechnung nebst Fig. 20. Textabbildung Bd. 322, S. 548 Fig. 19. Textabbildung Bd. 322, S. 548 Fig. 20. Die Strecke x'  läßt sich zweimal ausdrücken: x' = m + n – z . . . . . 54) x' = e + x – z . . . . .55) Beide Gleichungen addiert und die Werte für m, n entsprechend eingesetzt, gibt: r sin u + k cos ß = e + x . . . . . 56) k = k0+ y . . . . . 57) \mbox{sin}\,\beta=\frac{r\,\mbox{cos}\,u}{k_0+y} . . . . . 58) \mbox{cos}\,\beta=\sqrt{1-\left(\frac{r\,\mbox{cos}\,u}{k_0+y}\right)^2}=\sim\,1-\frac{1}{2}\,\left(\frac{r\,\mbox{cos}\,u}{k_0+y}\right)^2 . . . . . 59) Diese Werte in 56) gibt r\,\mbox{sin}\,u+(k_0+y)\,\sqrt{1+\left(\frac{r\,\mbox{cos}\,u}{k_0+y}\right)^2}=e+x . . . . . 56') Diese Gleichung 56' stellt nun die Gleichung der Winkelgeschwindigkeit bezw. des ∡ u dar; x ist die unabhängig, u die abhängig Veränderliche; y selbst kann man sofort aus Gleichung 21, 23 durch x ausdrücken, entsprechend der ab- bezw. der aufsteigenden Spirale. Da nun alle anderen Größen bekannt sind, kann für jeden Wert von x die zugehörige Drehung des Quadrantenarmes berechnet werden. Der Quadrant werde nun, wie es in der Praxis fast durchwegs der Fall ist, durch Zahnräder in Bewegung gesetzt. S sei in Fig. 21 ein um die beiden gleich großen Trommeln vom Durchmesser D geschlungenes endloses Seil, welches in einem Punkt P mit dem Wagen fest verbünden ist. Bewegt sich nun der Wagen, so wird der ganze Quadrantenmechanismus durch diesen in Bewegung gebracht. Während nun das Zahnrad 1 mit der einen Seiltrommel auf eine gemeinsame Welle aufgekeilt ist, welch letztere in zwei festliegenden Lagern gehalten wird, kann das Zahnrad 2, welches hier gleich groß wie 1 gewählt wurde, eine Drehung um seine eigene Achse und gleichzeitig eine solche um die Achse des Zahnrades 1 ausführen, so daß jedoch der Abstand beider konstant bleibt. Das Zahnrad 2 greift nun in ein drittes Zahnrad ein, welches das eigentliche Quadrantenzahnrad vorstellt und einen veränderlichen Teilkreisradius R besitzt, wegen der veränderlichen Winkelgeschwindigkeit des Quadranten in bezug auf eine konstante Wagengeschwindigkeit. Textabbildung Bd. 322, S. 548 Fig. 21. Bezeichnet nun n = Tourenzahl der Zahnräder 1 und 2 und Seiltrommel,entsprechend einem Wagenweg, bezw. einer abge-wickelten Seillänge x; u = entsprechende Drehung des Quadranten aus seinerAnfangsstellung, so ist: n=\frac{x}{D\,\pi} . . . . . 57) n=\frac{R\,u}{d\,\pi} . . . . . 58) u im Bogenmaß. Aus Gleichung 57 der Wert für n in Gleichung 58 eingesetzt, gibt Gleichung 59. R=\frac{d\,x}{D\cdot u} . . . . . 59) In der Gleichung 59 können mit Rücksicht auf die Gießerei und auf einen guten Zahneingriff die Durchmesser D, d entsprechend günstig gewählt werden. Man erhält sofort eine Gleichung für R in bezug zu x, wenn man aus Gleichung 59 den Wert für u berechnet und in Gleichung 56 einsetzt. Zum Schluß soll noch auf einen kleinen Fehler hingewiesen werden, welcher bei der vorhergehenden Untersuchung absichtlich unberücksichtigt gelassen worden ist. Es wurde nämlich angenommen, daß die Tourenzahl des Rades 2 gleich derjenigen n des Rades 1 sei, mit der Begründung, daß beide Zahnräder gleiche Durchmesser haben. Das unrunde Rad 3 bedingt jedoch, was auch bei der Konstruktion des Mechanismus vorgesehen ist, daß sich das Rad 2 um Rad 1 dreht; infolgedessen schwankt die Tourenzahl des ersteren entsprechend dem veränderlichen Radius R des Rades 3. Die Tourenzahl des Rades 2 ist also nicht mehr konstant; man kann jedoch einen ungefähren Mittelwert gleich n annehmen. Dieser Fehler wird nun am besten dadurch beseitigt, wenn man statt der beiden Zahnräder 1 und 2 ein einziges unrundes Rad konstruiert, so daß eben letzteres eine konstante Tourenzahl n besitzt, und das zweite unrunde Rad 3, wie früher, die gestellten Bedingungen erfüllt.