Die Trägheitskräfte einer Schubstange. Von Dr.-Ing. Max Ensslin-Stuttgart. (Schluß von S. 612 d. Bd.) Die Trägheitskräfte einer Schubstange. Erstes Beispiel. Reine Drehung einer Stange. Wir betrachten ein gewöhnliches Kurbelgetriebe, dessen Kurbel gleichförmig umlaufen möge, in der Stellung, in welcher die Kreuzkopfbeschleunigung gleich Null ist. In diesem Getriebe sei bloß die Schubstange mit Masse begabt; Kurbel und geradlinig hin- und hergehende Teile seien masselos. (Das Schwungrad besitze ein so großes Trägheitsmoment, daß die Umlaufzahl nicht merklich schwankt, wenn die lebendige Kraft der Stange in das Schwungrad hinein und heraus fließt.) Textabbildung Bd. 322, S. 625 Fig. 22. R1 und R2 = Trägheitskraft, r Richtung der Beschleunigung. Man weiß, daß die Kreuzkopfbeschleunigung bei einem Stangenverhältnis r : l < 1 : 5 mit großer Annäherung gleich Null ist, wenn die Schubstange mit der Kurbel einen rechten Winkel bildet. In dieser Stellung (Fig. 22) verhält sich die Stange wie ein um B sich drehender (schwingender) Körper. Die Beschleunigungen stehen senkrecht zur Stange und sind gegen die Mittellage O B der Stange hin gerichtet; sie sind dem Abstand von B proportional. Die Trägheitskräfte sind der Beschleunigung entgegen, also nach außen gerichtet. In der Kurbel wird ein Zug R1 hervorgerufen, den wir oben gefunden haben zu: R_1=\frac{\Theta_B\cdot p_4}{l^2}. Aus sofort ersichtlichem Grunde werde dafür ein anderer Ausdruck geschrieben, unter Benutzung des „Schwingungsmittelpunktes“, worunter man bekanntlich denjenigen Punkt der Stange versteht, in dem man bei der Schwingung bezw. ungleichförmigen Drehung sich die Masse vereinigt denken kann, ohne daß die Schwingungszahl geändert wird. Der Abstand l' des SchwingungsmittelpunktesZahlenwerte vergl. Tab. 1. vom Drehpunkt heißt die „reduzierte Pendellänge“ und wird durch die Gleichung bestimmt: l'=\frac{\Theta_B}{M\cdot a}. Damit schreibt sich die letzte Gleichung: R_1=M\cdot \frac{a}{l}\cdot \frac{l'}{l}\cdot p_4. Unter der Annahme, die Schubstangenmasse sei nach dem Schwerpunktgesetz auf die Stangenenden verteilt, erhielte man eine größere Zahl für R1, nämlich: R'_1=M\cdot \frac{a}{l}\cdot p_4. Dabei würde ein Fehler begangen, der in Hundertteilen des richtigen Wertes ausgedrückt, beträgt: \frac{R'_1-R_1}{R_1}=\frac{l}{l'}-1 (mal 100 v.H.) oder m. a. Worten: Um den richtigen Wert R1 zu erhalten, muß man den Näherungswert R'1 durch \frac{l}{l'} dividieren. Für die in Tab. 1 (s. S. 612) aufgeführten Stangen ergeben sich die in Tab. 2 und Tab. 3 aufgeführten Werte: Tabelle 2. No.: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 \frac{a}{l}= 0,615 0,769 0,763 0,619 0,584 0,722 0,596 0,608 0,745 0,617 0,641 0,772 0,725 0,594 \frac{l'}{l}= 1,24 1,082 1,117 1,202 1,239 1,136 1,231 1,202 1,13 1,172 1,136 1,06 1,09 (1,21) Wenn man hiernach zum Zweck der Vereinfachung annimmt, die rotierende Masse der Schubstange sei dem Schwerpunktsgesetz zufolge durch M. a/l ausgedrückt und in A konzentriert, so begeht man nach Tab. 2 in der betrachteten Stellung einen Fehler von rund 8–24 v. H., wenigstens bei den hier untersuchten Stangen. Dies ist auch der Fehler, der in der betrachteten Kurbelstellung gemacht würde, wenn man das Drehmoment, von dem oben die Rede war, vernachlässigt. Bei Stangen, deren Schwerpunkt dem Kurbelzapfen nahe liegt, ist der Fehler verhältnismäßig gering. Bei Tabelle 3. No. Hub2rmm Trieb-rad-Durch-messermm Größte Fahr-geschwin-digkeit Kurbelumdre-hung in 1 Min. Umfangsge-schwindigkeiti. Kurbelkr. v Zentri-petalbe-schleunig.\frac{v^2}{r}m/Sek R_1=\Theta_B\,\frac{p_4}{l_2}in Fig. 22 Stangen-gewicht G km/Std m/Sek kg 1   560 1800 100   295    8,64 266 1266 94 2   560 1650   90   290    8,49 258 2900 155,5 3   560 1650   81   260    7,64 208 2880 199,5 4   560 1650   81   260    7,64 208   935   86,0 5   561 1380   66   254    7,46 198   485     50,95 6   612 1380   60   231 7,4 179 2330 201,2 7   612 1350   60   231 7,4 179   995 113,0 8   612 1230   45   194    6,22 126   606    93,5 9   612 1230   45   194    6,22 126 1780 210,5 10   612 1230   45   194    6,22 126   650    96,5 11   540 1045   45   228    6,46 154   550    62,1 12   270 – –   210    2,96     72,8       22,2    46,0 13   150 – – 1100    8,62 991     172,5 2,572 14 1400 – –     90 6,6     62,2   (15100) 4850 einer Stange von konstantem Querschnitt ist die reduzierte Pendellänge l'=\frac{2}{3}\,l und daher der Fehler 50 v. H. Daß der Fehler lediglich von der Massenverteilung abhängt und nicht von der Größe der Winkelbeschleunigung, sei erwähnt, ist jedoch selbstverständlich. Die tatsächlichen Lagerdrücke in der betrachteten Stellung findet man, wie folgt: Punkte befindet sich im Gleichgewicht unter der Einwirkung von R2 der in der Stangenrichtung gegen A hin wirkenden Kraft S und der vom Kreuzkopf auf A ausgeübten Kraft N, die bekanntlich senkrecht zur Bahnrichtung steht. Der Bahndruck ist gleich und entgegengesetzt zu N. In entsprechender Weise findet man den Druck auf den Kurbelzapfen: Punkt B befindet sich im Gleichgewicht unter der Einwirkung von R2, ferner der in der Stangenrichtung gegen B hin wirkenden Kraft S (aus dem schon gezeichneten Kräftezug zu entnehmen) und der vom Kurbelzapfen auf B ausgeübten Kraft K die als Schlußlinie des Kräftedreiecks gefunden wird. Zweites Beispiel. Die von einer Schubstange auf den Kurbel- und Kreuzkopfzapfen ausgeübten Trägheitskräfte sollen während einer Kurbelumdrehung verfolgt werden. Die Berechnung wird durchgeführt: a)für eine Stange, deren Schwerpunkt dem Kurbelzapfen verhältnismäßig nahe liegt (Fig. 11). Hub der Maschine: 560 mm, Kurbelgeschwindigkeit 8,5 m/Sek. Stangenlänge, Gewicht u.s.f. siehe Tab. 1 – 3 unter No. 2; b)für eine Stange, deren Schwerpunkt nahe der Stangenmitte liegt (Fig. 14). Hub der Maschine: 561 mm, Kurbelgeschwindigkeit 7,46 m/Sek. Sonstige Angaben in Tab. 1–3 unter No. 5. In den Fig. 23 u. 26 sind die von der Stange auf den Kurbelzapfen ausgeübten Trägheitskräfte für die unter a und b bezeichneten Verhältnisse nach Größe, Richtung und Lage dargestellt. Die Radial- und Tangentialkomponenten dieser Kräfte sind in den Fig. 24 u. 27 als senkrechte Ordinaten, die zugehörigen Kurbelwinkel als wagerechte Abszissen eingetragen. Aus Fig. 25 u. 28 sind die Bahndrücke für jede Kreuzkopfstellung ersichtlich. Wird die Stangenmasse nach dem Schwerpunktsgesetz auf die Stangenenden verteilt, so äußern diese Punktmassen Trägheitskräfte, die durch die gestrichelten Linienzüge in den Fig. 24, 25, 27 u. 28 dargestellt sind. Textabbildung Bd. 322, S. 626 Fig. 23.Massendrücke der Schubstange auf den Kurbelzapfen nach Größe und Richtung; Fig. 24. Tangential- und Radial-Komponenten des Massendruckes der Schubstange auf den Kurbelzapfen. Aus den Fig. 24 u. 27 erkennt man den Unterschied! zwischen den tatsächlichen Massendrücken der Schubstange auf den Kurbelzapfen und den näherungsweise unter der Annahme ermittelten, daß die Stangenmasse nach dem Schwerpunktsgesetz auf die beiden Stangenenden verteilt sei. Diese Annahme liefert für die Radialkomponente des Massendrucks auf den Kurbelzafen in allen Kurbelstellungen zu große Werte, ausgenommen in den Totlagen, wo der Unterschied Null ist. Der Fehler ist in der Kurbelstellung am größten, in der Kurbel und Stange etwa einen rechten Winkel miteinander bilden. Seine Größe ist in Tab. 2 ziffermäßig angegeben. Schon zu dieser Tabelle ist bemerkt, daß der Fehler bei Stangen größer wird, deren Schwerpunkt mehr gegen die Stangenmitte hin gelegen ist. Dies zeigt auch der Vergleich der Fig. 24 und 27, die zur Stange No. 2 (Fig. 11) und zur Stange 5 (Fig. 14) gehören, deren Schwerpunktsabstand 76,9 v. H. bezw. 58,4 v. H. der Stangenlänge von der Kreuzkopfmitte entfernt ist. Textabbildung Bd. 322, S. 626 Fig. 25 u. 28.Massendrücke der Schubstange auf die Bahn des Kreuzkopfes. (Kräftemaßstab s. Fig. 24 und 27.) Bei den Tangentialkomponenten und Bahndrücken ist der Fehler verhältnismäßig größer, jedoch von geringer Bedeutung, weil, wenigstens bei gleichförmiger Kurbelgeschwindigkeit, die Radialkomponenten viel größer sind als die Tangentialkomponenten und Bahndrücke. Es ist ferner in diesem Zusammenhang zu bedenken, daß die Trägheitskräfte der Schubstange nicht die einzigen im Kurbelgetriebe sind, daß vielmehr die hin- und hergehenden Massen des Kreuzkopfes, des Kolbens und der Kolbenstange und die rotierende Masse der Kurbel ebenfalls Trägheitskräfte äußern, wodurch ein Fehler in der Bestimmung der Massendrücke der Schubstange im Gesamtergebnis weniger bemerkbar wird. Auch die von Mollier gestellte Frage, welche Kraft am Kreuzkopf in der Schubrichtung wirken müsse, um die Schubstange zu bewegen, kann angenähert so beantwortet werden, daß man die Stangenmasse nach dem Schwerpunktsgesetz auf die beiden Stangenenden verteilt und dann die Kraft berechnet, die zur Beschleunigung des auf den Kreuzkopf entfallenden Massenanteils erforderlich istBei der Fragestellung Molliers ist angenommen, daß die Beschleunigung der Schubstange lediglich von einer am Kreuzkopf tätigen Kraft bewirkt werde; ein Austausch lebendiger Kraft zwischen Schwungrad und Stange ist hiernach ausdrücklich ausgeschlossen und damit auch das Auftreten einer Tangentialkraft an der Kurbel.. Hierbei ergibt sich der Näherungswert zu klein; der Fehler kann mit Hilfe der Angaben Molliers leicht allgemein und zahlenmäßig ausgedrückt werden. Textabbildung Bd. 322, S. 627 Fig. 26. Massendrücke der Schubstange auf den Kurbelzapfen nach Größe und Richtung; Fig. 27. Tangential- und Radial-Komponenten des Massendruckes der Schubstange auf den Kurbelzapfen. Zusammenfassung und Schlüsse. Für eine angenäherte Ermittlung der Trägheitskräfte einer Schubstange genügt es, die Stangenmasse nach dem Schwerpunktsgesetz auf die beiden Stangenenden zu verteilen, die Stange also durch zwei in den Stangenenden konzentrierte Massenpunkte zu ersetzen. Die Stangenmasse ist dadurch in einen lediglich rotierenden und in einen lediglich hin- und hergehenden Anteil zerlegt. Dabei wird die Radialkomponente des Massendrucks der Schubstange auf den Kurbelzapfen in allen Kurbelstellungen außer den Totlagen überschätzt, die Tangentialkomponente und der Bahndruck unterschätzt bei allen Kurbelwinkeln außer 0, 180 und etwas weniger als 90 Grad. Der größte Fehler bei Bestimmung der Radialkomponente ist für eine Anzahl ausgeführter Stangen oben ausgerechnet. Das Verfahren zur genauen Berechnung der Massendrücke der Schubstange, das schon von Mohr, Lorenz und Wittenbauer angegeben wurde, ist elementar bewiesen. Die zur Durchführung der Rechnung nötigen Werte des Gewichts, der Schwerpunktslage und des Trägheitsmomentes sind an 14 ausgeführten Stangen mit verschiedener Massenverteilung experimentell ermitteltVergl. auch Mollier, Z. d. V. D. I. 1903, S. 1638.; mit Hilfe dieser Angaben kann das Trägheitsmoment von Stangen, die nur in Zeichnung vorliegen, geschätzt werden. Mit einem Gegengewicht an der Kurbel kann man nur die Radialkomponenten der Trägheitskräfte an der Kurbel teilweise ausgleichen; vollständig gelingt dies nie, da diese Radialkomponenten von wechselnder Größe sind infolge des Vorhandenseins hin- und hergehender Massen; die Stange wirkt eben nicht nur wie eine rotierende Masse. Der Größtwert der Radialkomponente an der Kurbel in den beiden Totlagen ist M\,\frac{v^2}{r}\,\left(1\,\pm\,\frac{r}{l}\cdot \frac{b}{l}\right) Ist außer der Stangenmasse M noch eine lediglich hin- und hergehende Masse M1 vorhanden, so kommt zu dieser Kraft der Betrag hinzu: M_1\cdot \frac{v^2}{r}\,\left(1\,\pm\,\frac{r}{l}\right) (M = Schubstangenmasse, v2/r Zentripetalbeschleunigung, b Abstand des Stangenschwerpunktes von Mitte Kurbelzapfen). Der Kleinstwert der Radialkomponente in der Stellung, in der Kurbel und Stange etwa einen rechten Winkel einschließen, ist: M\,\frac{v^2}{r}\,\frac{a}{l}\,\frac{l'}{l}, (a Abstand des Stangenschwerpunktes von Mitte Kreuzkopf; l' „reduzierte Pendellänge“ der Stange, von Kreuzkopfmitte aus gemessen). Bezüglich des Wertes l'/l siehe Tab. 2. Nur der zuletzt angegebene Kleinstwert der Radialkraft ist durch ein Gegengewicht an der Kurbel vollständig ausgleichbar. Ist die Zentrifugalkraft des Gegengewichts gerade diesem Kleinstwert gleich, so tritt ein vollständiger Ausgleich der radialen Massenkräfte dann ein, wenn Kurbel und Stange einen rechten Winkel bilden; in allen anderen Kurbelstellungen ist ein Ueberschuß an Radialkraft in Richtung Wellenmitte-Kurbelzapfen wirksam. Wird nun die Zentrifugalkraft des Gegengewichts größer als M\,\frac{v^2}{r}\cdot \frac{a}{l}\cdot \frac{l'}{l} gemacht, so wirkt in den Totlagen ein Ueberschuß an radialer Massenkraft im Sinne: Wellenmitte-Kurbelzapfen, in der Mitte zwischen den beiden Totlagen dagegen ein solcher in entgegengesetztem Sinne. Man könnte daran denken, die beiden Ueberschüsse gleich groß zu machen. Häufig wird man sich begnügen müssen, die „Zentrifugalkraft des Schubstangenkopfes“ auszugleichen, so z.B. bei der schweren und rasch bewegten Stange No. 14. Weiter zu gehen verbietet in diesem Fall die Unmöglichkeit, ein größeres Gegengewicht unterzubringen; an einen Ausgleich der von den hin- und hergehenden Massen herrührenden Radialkräfte an der Kurbel ist in solchen Fällen nicht zu denken. Die tangentialen Massendrücke an der Kurbel lassen sich durch ein Gegengewicht überhaupt nicht ausgleichen.