Die Festigkeitsberechnung der Schwungräder. Von Joh. Heinrich Bauer in Brackwede i. W. (Fortsetzung von S. 355 d. Bd.) Die Festigkeitsberechnung der Schwungräder. Durch die Gleichungen 1 bis 9 ist der Belastungszustand des Schwungradsektors festgelegt. Unbekannt ist noch die in dem Arme auftretende Zugkraft X. Diese kann mit Hilfe des Satzes vom Minimum der Formänderungsarbeit bestimmt werden. Da bei der Rotation keine Trennung zwischen Kranz, Arme und Nabe eintritt, muß nach Castigliano X jenen Wert annehmen, der die gesamte Formänderungsarbeit A des Sektors zu einem Minimum macht. Die Bedingung heißt also: \frac{\partial\,A}{\partial\,X}=0. Die gesamte Formänderungsarbeit des Sektors ist: \begin{array}{rcl}A&=&2\,\int_0^\alpha\,\frac{{M^2}_{1,\varphi}\,R\,d\,\varphi}{2\,E\,J_1}+2\,\int_0^\alpha\,\frac{{N^2}_{1,\varphi}\,R\,d\,\varphi}{2\,E\,F_1}+\int_r^R\,\frac{Z^2\,d\,\varrho}{2\,\frakfamily{E}\,F_a}\\&+&2\,\int_0^\alpha\,\frac{{M^2}_{2,\varphi}\,r\,d\,\varphi}{2\,E\,J_2}+2\,\int_0^\alpha\,\frac{{N^2}_{2,\varphi}\,r\,d\,\varphi}{2\,E\,F_2}.\end{array} Die Formänderungsarbeiten der Schubkräfte sind als untergeordnet vernachlässigt worden. Um schmiedeeisernen Armen Rechnung zu tragen, wurde vorausgesetzt, daß Kranz und Nabe aus Material von einem Elastizitätsmodulus E, während der Arm aus Material vom Modulus E besteht. \begin{array}{rcl}\frac{\partial\,A}{\partial\,X}&=&2\,\int_0^\alpha\,\frac{M_{1,\varphi}\,R}{E\,J_1}\,\frac{\partial\,M_{1,\varphi}}{\partial\,X}\,d\,\varphi+2\,\int_0^\alpha\,\frac{N_{1,\varphi}\,R}{E\,F_1}\,\frac{\partial\,N_{1,\varphi}}{\partial\,X}\,d\,\varphi\\&+&\int_r^R\,\frac{Z}{\frakfamily{E}\,F_a}\,\frac{\partial\,Z}{\partial\,X}\,d\,\varrho+2\,\int_0^\alpha\,\frac{M_{2,\varphi}}{E\,J_2}\,\frac{\partial\,M_{2,\varphi}}{\partial\,X}\,d\,\varphi\\&+&2\,\int_0^\alpha\,\frac{N_{2,\varphi}}{E\,F_2}\,\frac{\partial\,M_{2,\varphi}}{\partial\,X}\,d\,\varphi=0.\end{array} In diese Gleichung sind die Werte der Gleichungen 2, 5, 6, 7 und 9 einzuführen. Die einzelnen Summenwerte werden integriert, woraus sich nach Uebergehung dieser Rechnung ergibt: \begin{array}{rcl}\frac{\partial\,A}{\partial\,X}&=&\frac{X\,R^3}{E\,J_1}\,\left(\frac{1}{2\,\sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{1}{2\,a}\right)\\&+&\frac{R}{E\,F_1}\,\left(X\,\frac{1}{2\,sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)-K\right)\\&+&\frac{X\,(R-r)}{\frakfamily{E}\,F_a}+\frac{\gamma_a}{2\,\frakfamily{E}\,g}\,\left(\frac{2}{3}\,R^3-R^2\,r+\frac{r^3}{3}\right)\,\omega^2\\&+&\frac{(X+K_a)\,r^3}{E\,J_2}\,\left(\frac{1}{2\,\sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{1}{2\,a}\right)\\&+&\frac{X+K_a}{E\,F_2}\,\cdot\,\frac{1}{2\,\sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)=0.\end{array} Abkürzungsweise wird gesetz: \frac{1}{2\,\sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)=f_1\,(\alpha) und \frac{1}{2\,\sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{1}{2\,\alpha}=f_2\,(\alpha). Nach Ordnung der entsprechenden Glieder schreibt sich die Gleichung: X\,\left\{\frac{1}{E}\,\left(\frac{R^3}{J_1}+\frac{r^3}{J_2}\right)\,f_2\,(\alpha)+\frac{1}{E}\,\left(\frac{R}{F_1}+\frac{r}{F_2}\right)\,f_1\,(\alpha)+\frac{1}{\frakfamily{E}}\,\frac{R-r}{F_a}\right\} =\frac{K\,R}{E\,F_1}-\frac{\gamma_a}{2\,\frakfamily{E}\,g}\,\left(\frac{2}{3}\,R^3-R^2\,r+\frac{r^3}{3}\right)\,\omega^2-\frac{K_a\,r^3}{E\,J_2}\,f_2\,(\alpha)-\frac{K_a\,r}{E\,F_2}\,f_1\,(\alpha) X=\frac{\frac{K\,R}{E\,F_1}-\frac{\gamma_a}{2\,\frakfamily{E}\,g}\,\left(\frac{2}{3}\,R^3-R^2\,r+\frac{r^3}{3}\right)\,\omega^2-\frac{K_a\,r^3}{E\,J_2}\,f_2\,(\alpha)-\frac{K_a\,r}{E\,F_2}\,f_1\,(\alpha)}{\frac{1}{E}\,\left(\frac{R^3}{J_1}+\frac{r^3}{J_2}\right)\,f_2\,(\alpha)+\frac{1}{E}\,\left(\frac{R}{F_1}+\frac{r}{F_2}\right)\,f_1\,(\alpha)+\frac{1}{\frakfamily{E}}\,\cdot\,\frac{R-r}{F_a}} 10) Wenn Kranz, Arme und Nabe aus dem gleichen Material bestehen, vereinfacht sich die Formel auf: X=\frac{K\,\frac{R}{F_1}-\frac{\gamma_a}{2\,g}\,\left(\frac{2}{3}\,R^3-R^2\,r+\frac{r^3}{3}\right)\,\omega^2-K_a\,\frac{r^3}{J_2}\,f_2\,(\alpha)-K_a\,\frac{r}{F_2}\,f_1\,(\alpha)}{\left(\frac{R^3}{J_1}+\frac{r^3}{J_2}\right)\,f_2\,(\alpha)+\left(\frac{R}{F_1}+\frac{r}{F_2}\right)\,f_1\,(\alpha)+\frac{R-r}{F_a}} 11) Bei Schwungrädern mit Doppelarmsystem ist zu beachten, daß Fa gleich dem Querschnitt der beiden Arme zu setzen ist. Die Anwendung der gewonnenen Formel zeigt, daß diese, ohne ihren Wert zu beeinträchtigen, wesentlich vereinfacht werden kann, wenn man r = 0 setzt, d.h. Wenn man den Einfluß der Nabe auf die Formänderung vernachlässigt und den Arm bis zum Mittelpunkt durchgehend denkt. Dann ist: X=\frac{K\,\frac{R}{F_1}-\frac{2}{3}\,K_a\,\frac{R}{F_a}}{\frac{R^3}{J_1}\,f_2\,(\alpha)+\frac{R}{F_1}\,f_1\,(\alpha)+\frac{R}{F_a}} . . . 12) In dieser einfachen Form ist die Gleichung für den Gebrauch am Reißbrett bequem. Die begangenen Vernachlässigungen betragen bei normalen Ausführungen weniger als 2 v. H. des genauen Wertes X. Bei besonderen Schwungrädern, an welche hohe Anforderungen gestellt werden, kann der gewissenhafte Konstrukteur ohne Schwierigkeiten eine Kontrolle nach Gleichung 10 bezw. 11 vornehmen. Die Winkelfunktionen f1(α) und f2(α) sind in einer nachfolgenden Tabelle für 2 bis 12 Arme zusammengestellt, aus welcher neben anderen auch die Winkelfunktionen für die Normalkräfte und Biegungsmomente entnommen werden können. Nachdem X bekannt ist, kann die Berechnung der Materialspannungen in allen Teilen des Schwungrades erfolgen. Die Zugspannung im Kranze in irgend einem Querschnitt unter dem Winkel φ ergibt sich: \sigma_{z,\varphi}=\frac{N_{1,\varphi}}{F_1}. Die Biegungsspannung in demselben Querschnitt: \sigma_{b,\varphi,\eta}=\frac{M_{1,\varphi}}{\frac{J_1}{\eta}}. η ist hierin der Abstand der Faserschicht mit der Spannung σb, φ, η von der neutralen Faserschicht und wird positiv gerechnet, wenn η nach dem Mittelpunkt des Rades gerichtet ist. σz, φ und σb, φ, η werden dem Vorzeigen entsprechend zusammengefaßt. Am meisten interessieren uns die Spannungen in den Querschnitten für φ = 0, d.h. in der Mitte zwischen zwei Armen und für φ = α, d.h. beim Anschluß an den Arm. Sie ergeben sich aus Gleichung 2 und 5: für φ = 0 N_{1,0}=K-\frac{X}{2}\,\frac{1}{\sin\,\alpha} M_{1,0}=-\frac{X\,R}{2}\,\left(\frac{1}{\sin\,\alpha}-\frac{1}{\alpha}\right) und für φ = a N_{1,\alpha}=K-\frac{X}{2}\,\frac{\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha} M_{1,\alpha}=\frac{X\,R}{2}\,\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha}\right) Die Materialspannung im Arme ist: Beim Anschluß an den Kranz: \sigma_{a,R}=\frac{X}{F_a} (Zugspannung)    „            „       „  die Nabe: \sigma_{a,R}=\frac{X+K_a}{F_a}          „ Die Materialspannungen in der Nabe können aus N2,φ und M2,φ in analoger Weise berechnet werden. Die meisten Räder werden zwei- oder mehrteilig ausgeführt. Die Teilfuge liegt entweder: 1. in der Mitte zwischen zwei Armen, dann muß die Kranzverbindung die im Schwerpunkt auftretende Zugkraft N1,0 und das Biegungsmoment M1,0 übertragen und die Nabenverbindung analog N2,0 und M2,0 oder 2. die Teilfuge geht mitten durch einen Arm, dann muß die Kranzverbindung N2,a und M2,a und die Nabenverbindung N2,a und M2,a übertragen. In beiden Fällen sind die Bedingungen für die Kranz- und Nabenverbindung eindeutig festgelegt. Die Kranzverbindung wird entweder durch Schrauben, Keile oder Schrumpfringe, seltener durch Schrumpftaschen bewirkt. Da manchmal noch unzweckmäßige Kranzverbindungen anzutreffen sind, sollen an einem schematischen Beispiel die Gleichgewichtsbedingungen für eine solche Verbindung aufgestellt werden. Es wird hierzu eine Schraubenverbindung gewählt. Das Resultat kann aber ohne weiteres auf jede andere Art der Verbindung übertragen werden. Textabbildung Bd. 323, S. 379 Fig. 6. Die Teilfuge liege nach Fig. 6 in der Mitte zwischen zwei Armen, 5 sei die Resultierende aus den Schraubenkräften und D die Resultierende der Auflagerdrücke an dieser Stelle, s und d sind deren Abstände von der Schwerpunktsfaser: Die Gleichgewichtsbedingungen ergeben: N1,0 – S + D = 0 M1,0 + S . s – Dd = 0 S=\frac{N_{1,0}\,d-M_{1,0}}{d-s};\ D=\frac{N_{1,0}\,s-M_{1,0}}{d-s}. Es zeigt sich, daß es für die Kranzverbindung zweckmäßig ist, s möglichst klein zu machen, d.h. die Schrauben oder auch den Keil dem Schwerpunkt möglichst nahe zu rücken. Würde s negativ, d.h. läge ein Teil der Kranzverbindung auf der äußeren Seite des Kranzes, was bei den meisten Rädern mit Rücksicht auf Riemen, Seile oder einem glatten Rand untunlich ist, so würde S < N1,0. Dementsprechend müßte D mit S gleich gerichtet sein, d.h. es müßten auch an dieser Stelle Schrauben angebracht werden. 2. Der Einfluß der Masse der Kranzverbindung. Die konstruktive Durchbildung einer Kranzverbindung verursacht in vielen Fällen eine Anhäufung von Massen an dieser Stelle, welche die Stetigkeit des Kranzprofils stört. Die Zentrifugalkraft der Masse der Kranzverbindung wirkt auf den Kranz wie eine konzentrierte Kraft und ruft Materialspannungen hervor, deren Größen nicht unterschätzt werden dürfen, namentlich dann, wenn die Verbindungsstelle in der Mitte zwischen zwei Armen liegt. Dieser Fall soll im folgenden besonders untersucht werden. Bei zweiteiligen Schwungrädern liegen die Verbindungsstellen des Kranzes einander diametral gegenüber und heben den symmetrischen Aufbau insofern auf, als nun nicht mehr jeder Arm als Symmetrielinie des zugehörigen Sektors angesehen werden kann. Das Rad besteht nur noch aus zwei symmetrischen Teilen. Es genügt dementsprechend nicht mehr nur einen Sektor mit dem Arm als Mittellinie ins Auge zu fassen, es muß vielmehr in diesem Falle die Formänderungsarbeit für einen Quadranten aufgestellt werden, gleichviel wie viel Arme – in diesem Quadranten enthalten sind. Wenn diese Aufstellung auch prinzipiell keine Schwierigkeiten bietet, so ist sie doch recht mühsam und wenig lohnend. Außerdem ist die Rechnung für jede Armzahl besonders durchzuführen, so daß für praktische Fälle davon abgesehen werden muß. Wir begnügen uns damit, nur jenen Kranzteil zu untersuchen, in welchem die Verbindung liegt. Die erwünschte Symmetrie in der Belastung denkt man sich dadurch wieder hergestellt, daß man sich in jedem Sektor in der Mitte zwischen zwei Armen ein zusätzliches Gewicht von der Größe der Kranzverbindung angebracht denkt. Nun genügt es wieder, nur einen Sektor zu betrachten mit dem Arm als Symmetrielinie. Textabbildung Bd. 323, S. 379 Fig. 7. Ist 2 G das Gewicht der ganzen Kranzverbindung und RG der Abstand ihres Schwerpunktes vom Rotationsmittel, so ist die konzentrierte Kraft für den ins Auge zu fassenden Sektor: Q=\frac{G}{g}\,R_G\,\cdot\,\omega^2. Diese ruft im Arme eine Zugkraft X hervor. Der herausgeschnittene Kranzsektor wird durch hinzufügen der Normalkräfte N1,0 der Schubkräfte T1,0 und der Biegungsmomente M1,0 ins freie Gleichgswicht gebracht. Die Gleichgewichtsbedingungen für den Kranzsektor lauten nach Fig. 7: 1. Projektion auf die Richtung von X: 2 N1,0 sin α – 2 Q cos α + T1,0 cos α – T1,0 cos α + X = 0. N_{1,0}=Q\,\frac{\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha}-\frac{X}{2}\,\frac{1}{\sin\,\alpha} . . . 13) 2. Projektion auf die Richtung senkrecht zu X: N1,0 cos α – N1,0 cos α – 2 T1,0 sin α + Q sin α – Q sin α = 0. T1,0 = 0 Die Normalkraft N1,φ in einem Querschnitt unter dem Winkel φ ergibt sich aus: N1,φ – N1,0 cos φ – Q sin φ = 0 N_{1,\varphi}=Q\,\left(\frac{\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha}\,\cos\,\varphi+\sin\,\varphi\right)-\frac{X}{2}\,\frac{\cos\,\varphi}{\sin\,\alpha} . . . 14) für φ = 0 ergibt sich der Wert nach Gleichung 13; für φ = α N_{1,\alpha}=\frac{Q}{\sin\,\alpha}-\frac{X}{2}\,\frac{\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha} . . . .15) Die Berücksichtigung der Schubkraft ist für die weitere Untersuchung nicht erforderlich, da ihr Einfluß auf die Formänderungsarbeit von untergeordneter Bedeutung ist. Das Biegungsmoment in dem Querschnitt unter dem Winkel φ ist: M1,φ = M1,0 + Q R sin φ – N1,0 R (1 – cos φ). Das Einspannmoment ergibt sich wieder aus der Bedingung \int_0^\alpha\,M_{1,\varphi}\,d\,\varphi=0. Zu: M_{1,0}=-Q\,R\,\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha}\right)-\frac{X}{2}\,R\,\left(\frac{1}{\sin\,\alpha}-\frac{1}{\alpha}\right) . . . 16) und M_{1,\varphi}=-O\,R\,\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha}\,\cos\,\varphi-\sin\,\varphi\right) -\frac{X}{2}\,R\,\left(\frac{\cos\,\varphi}{\sin\,\alpha}-\frac{1}{\alpha}\right) . . . 17) für \varphi=\alpha\,M_{1,\alpha}=Q\,R\,\left(\frac{1}{\sin\,\alpha}-\frac{1}{\alpha}\right)+\frac{X}{2}\,R\,\left(\frac{1}{\alpha}-\frac{\cos\,\alpha}{\sin\,\alpha}\right) . . . 17a) Die gesamte Formänderungsarbeit für den Kranzsektor einschließlich des Armes ist: A=2\,\int_0^\alpha\,\frac{{M^2}_{1,\varphi}\,R\,d\,\varphi}{2\,E\,J_1}+2\,\int_0^\alpha\,\frac{{N^2}_{1,\varphi}\,R\,d\,\varphi}{2\,E\,F_1}+\int_r^R\,\frac{X^2\,d\,\varrho}{2\,\frakfamily{E}\,F_a} Es ist nicht notwendig den Anteil der Nabe an der Formänderung zu berüchsichtigen. Man darf diese ohne wesentlichen Fehler als starr annehmen. Da der Zusammenhang zwischen Kranz und Arm gewahrt bleiben muß, wird X jenen Wert annehmen, der die Formänderungsarbeit zu einem Minimum macht. \begin{array}{rcl}\frac{\partial\,A}{\partial\,X}&=&0=2\,\int_0^\alpha\,\frac{M_{1,\varphi}}{E\,J_1}\,\frac{\partial\,M_{1,\varphi}}{\partial\,X}\,R\,d\,\varphi\\&+&2\,\int^\alpha\,\frac{N_{1,\varphi}}{E\,F_1}\,\frac{\partial\,N_{1,\varphi}}{\partial\,X}\,R\,d\,\varphi+\int_r^R\,\frac{X\,d\,\varrho}{\frakfamily{E}\,F_a}.\end{array} Unter Uebergehung der Rechnungsdurchführung schreibt sich: \begin{array}{rcl}\frac{\partial\,A}{\partial\,X}&=&0=\frac{R^3}{E\,J_1}\,\left\{Q\,\left(\frac{1}{\alpha}-\left(\frac{\cos\,\alpha}{sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)+\frac{\sin\,\alpha}{2}\right)\right)\right\\&+&\left\frac{X}{2}\,\left(\frac{1}{\sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{1}{\alpha}\right)\right\}\\&+&\frac{R}{E\,F_1}\,\left\{\frac{X}{2}\right\,\left(\frac{1}{\sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)\right-Q\,\left(\frac{\cos\,\alpha}{\sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)\right\\&+&\left\left\frac{\sin\,\alpha}{2}\right)\right\}+\frac{X\,(R-r)}{\frakfamily{E}\,F_a}.\end{array} Außer den bereits gegebenen Abkürzungen werde gesetzt: \frac{\cos\,\alpha}{\sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)+\frac{\sin\,\alpha}{2}=f_3\,(\alpha) und \frac{1}{\alpha}-\frac{\cos\,\alpha}{\sin^2\,\alpha}\,\left(\frac{\sin\,2\,\alpha}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)+\frac{\sin\,\alpha}{2}=f_4\,(\alpha). Dann ergibt sich: X=\frac{-\frac{R^3}{E\,J_1}\,f_4\,(\alpha)+\frac{R}{E\,F_1}\,f_3\,(\alpha)}{\frac{R^3}{E\,J_1}\,f_2\,(\alpha)+\frac{R}{E\,F_1}\,f_1\,(\alpha)+\frac{R-r}{\frakfamily{E}\,\cdot\,F_a}}\,Q . . . . 18) Sind Kranz und Arme aus dem gleichen Material, also E = E, so vereinfacht sich X, wenn r = 0 gesetzt wird auf: X=\frac{-\frac{R^3}{J_1}\,f_4\,(\alpha)+\frac{R}{F_1}\,f_3\,(\alpha)}{\frac{R^3}{J_1}\,f_2\,(\alpha)+\frac{R}{F_1}\,f_1\,(\alpha)+\frac{R}{F_a}}\,Q . . . . 19) Der Nenner dieses Ausdruckes stimmt überein mit jenem von Gleichung 12. Die Auswertung des Zählers geht auch schnell von Statten, da die Winkelwerte der Tabelle entnommen werden können. Zur Berücksichtigung der Kranzverbindung bei der Festigkeitsberechnung ist also keine zeitraubende Arbeit notwendig. Die sich hieraus ergebenden Materialspannungen werden dem Vorzeichen entsprechend mit jenen des ersten Abschnittes zusammengenommen, woraus sich eine resultierende Materialspannung ergibt. (Fortsetzung folgt.)